第46話  ジョルダンの標準形

この記事を読む助けになる数学の記事
・数値計算：1話、 2話、 5話、 15話、 26話、 30話、 31話、 33話、 34話、 35話、 38話、 44話、 45話

　\( m \) 次 \( x \)-行列 \( A(x) \) および \( n \) 次 \( x \)-行列 \( B(x) \) に対し、\( m+n \) 次 \( x \)-行列 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} A(x) & O \\ O & B(x) \end{array} \right) \end{align}\] を \( A(x) \) と \( B(x) \) との直和と言い、\( A(x) \dot{+} B(x) \) と表します。

　スミス標準形の直和について、次の定理が成り立ちます。

　まず、[1] が成り立つことを示します。対角行列において、\( i \) 列と \( i+1 \) 列を交換した後、\( i \) 行と \( i+1 \) 行を交換すると、\( \left( i , i \right) \) 成分と \( \left( i + 1, i +1 \right) \) 成分を入れ替えることができます。 \( A(x) \dot{+} B(x) \) は対角行列なので、この操作を繰り返して \( \left( m,m \right) \) 成分の \( f(x) \) を \( \left( m+n-1,m+n-1 \right) \) 成分へと移せば題意のスミス標準形が得られます。

　続いて、[2] が成り立つことを示します。 \( f(x) \) と \( g(x) \) の最大公約数が 1 であることから、ベズーの等式より、 \[ \begin{align} f(x) u(x) + g(x) v(x) = 1 \end{align}\] となる多項式 \( u(x) \) 、\( v(x) \) が存在します。
　\( A(x) \dot{+} B(x) \) をまず [1] の形に変形してから、右下の 2 次行列 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} f(x) & 0 \\ 0 & g(x) \end{array} \right) \end{align}\] に注目します。 \[ \begin{align} P(x) = \left( \begin{array}{cc} 1 & v(x) \\ -g(x) & f(x)u(x) \end{array} \right), \ Q(x) = \left( \begin{array}{cc} u(x) & -g(x)v(x) \\ 1 & f(x) \end{array} \right) \end{align}\] とすると、 \[ \begin{align} & P(x) \left( \begin{array}{cc} f(x) & 0 \\ 0 & g(x) \end{array} \right) Q(x) \\\\ = & \left( \begin{array}{cc} 1 & v(x) \\ -g(x) & f(x)u(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} f(x) & 0 \\ 0 & g(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u(x) & -g(x)v(x) \\ 1 & f(x) \end{array} \right) \\\\ = & \left( \begin{array}{cc} 1 & v(x) \\ -g(x) & f(x)u(x) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} f(x) u(x) & -f(x) g(x)v(x) \\ g(x) & f(x)g(x) \end{array} \right) \\\\ = & \left( \begin{array}{cc} f(x) u(x) + g(x) v(x) & -f(x) g(x)v(x) + f(x) g(x)v(x) \\ -f(x) g(x) u(x) + f(x) g(x) u(x) & f(x)g(x) \left( f(x) u(x) + g(x) v(x) \right) \end{array} \right) \\\\ = & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & f(x)g(x) \end{array} \right) \end{align}\] となります。ここで、\( P(x) \) と \( Q(x) \) の行列式をそれぞれ求めると、 \[ \begin{align} \left| P(x) \right| &= 1 \cdot f(x) u(x) - \left( - g(x) v(x) \right) \\\\ &= f(x) u(x) + g(x) v(x) = 1 \\\\ \left| Q(x) \right| &= u(x)f(x) - \left( - g(x) v(x) \right) \\\\ &= f(x) u(x) + g(x) v(x) = 1 \end{align}\] となるため、可逆行列の同値条件より、\( P(x) \) と \( Q(x) \) はいずれも可逆行列です。 任意の可逆行列は基本行列の積として表されるため、 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} f(x) & 0 \\ 0 & g(x) \end{array} \right) \text{と} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & f(x)g(x) \end{array} \right) \text{は対等} \end{align}\] となり、題意が成り立ちます。

　次のように、対角成分がすべて \( \alpha \) であり、対角成分の一つ上の成分がすべて 1 の \( k \) 次行列を固有値 \( \alpha \) に対する \( k \) 次ジョルダン細胞と呼び、\( J \left( \alpha , k \right) \) で表します。 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{ccccc} \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha & 1 & & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \alpha \end{array} \right) \end{align}\] 　また、ジョルダン細胞 \( J \left( \alpha , k \right) \) の特性行列 \[ \begin{align} xE - J \left( \alpha , k \right) = \left( \begin{array}{ccccc} x - \alpha & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x - \alpha & -1 & & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & x - \alpha \end{array} \right) \end{align}\] を特性ジョルダン細胞と呼びます。特性ジョルダン細胞について次の定理が成り立ちます。

　\( k \) についての数学的帰納法を使ってこの定理を証明します。

[1] \( k = 1 \) のとき
　\( J \left( \alpha , 1 \right) = \left( \alpha \right) \) であるため、 \[ xE - J \left( \alpha , 1 \right) = \left( x - \alpha \right) \] となり、これは題意のスミス標準形です。

[2] \( k = n + 1 \) とし、\( xE - J \left( \alpha , n \right) \) は題意のスミス標準形に対等であると仮定
　仮定より、\( xE - J \left( \alpha , n + 1 \right) \) は次の \( n+1 \) 次 \( x \)-行列と対等です。 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & & & & & 0 \\ & 1 & & & & \vdots \\ & & \ddots & & & \vdots \\ & & & \ddots & & \vdots \\ & & & & \left( x - \alpha \right)^n & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & x - \alpha \end{array} \right) \end{align}\] この行列の右下の 2 次行列 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} \left( x - \alpha \right)^n & -1 \\ 0 & x - \alpha \end{array} \right) \end{align}\] に注目しながら基本変形していきます。 まず、\( n \) 列と \( n+1 \) 列を交換すると、この部分は \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} -1 & \left( x - \alpha \right)^n \\ x - \alpha & 0 \end{array} \right) \end{align}\] となります。次に、\( n \) 列を \( -1 \) 倍します。 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 1 & \left( x - \alpha \right)^n \\ \alpha - x & 0 \end{array} \right) \end{align}\] 続いて、\( n \) 列を \( - \left( x - \alpha \right)^n \) 倍したものを \( n+1 \) 列に加えます。 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \alpha - x & \left( x - \alpha \right)^{n+1} \end{array} \right) \end{align}\] 最後に、\( n \) 行を \( x - \alpha \) 倍したものを \( n+1 \) 行に加えます。 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \left( x - \alpha \right)^{n+1} \end{array} \right) \end{align}\] 以上の操作により得られる \( n+1 \) 次 \( x \)-行列は、題意のスミス標準形です。

　[1] と [2] より、任意の自然数 \( k \) について特性ジョルダン細胞 \( xE - J \left( \alpha , k \right) \) は題意のスミス標準形に対等であると言えます。

　様々な固有値に対する様々な次数のジョルダン細胞何個かの直和をジョルダン行列と呼びます。 ここから、\( n \) 次ジョルダン行列 \[ \begin{align} J = J \left( \alpha _1 , k_1 \right) \dot{+} J \left( \alpha _2 , k_2 \right) \dot{+} \cdots \dot{+} J \left( \alpha _s , k_s \right) , \ \ \sum _{m=1} ^s k_m = n \end{align}\] の特性 \( x \)-行列 \[ \begin{align} xE - J = \left( \begin{array}{cccc} xE - J \left( \alpha _1 , k_1 \right) & & & \\ & xE - J \left( \alpha _2 , k_2 \right) & & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & xE - J \left( \alpha _s , k_s \right) \end{array} \right) \end{align}\] のスミス標準形を求めていきます。

　まず、\( J \) を構成する一つ一つの特性ジョルダン細胞をスミス標準形に基本変形しておきます。 以後、スミス標準形に基本変形された特性ジョルダン細胞も特性ジョルダン細胞と呼ぶことにします。 なお、この操作で \( xE - J \) は行列 \( R_1 \) に変形されたとします。
　次に、特性ジョルダン細胞たちの固有値 \( \alpha _1 , \alpha _2 , \cdots , \alpha _s \) から互いに異なる固有値をすべて選んで番号を \( \alpha _1 , \alpha _2 , \cdots , \alpha _p \) と付けます。 各番号の固有値に対する特性ジョルダン細胞のうち、次数の最大のものをそれぞれ一つずつ選び、それらを \( R_1 \) の右下に移動します。 このとき、最大次数の特性ジョルダン細胞が二つ以上ある場合は、そのうちの一つを右下に移動します。 右下に移動した特性ジョルダン細胞のそれぞれは、 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 1 & \\ & & & & \left( x - \alpha _i \right)^{k_{i,1}} \end{array} \right) \end{align}\] の形をしています。 なお、右下の成分 \( \left( x - \alpha _i \right)^{k_{i,1}} \) の指数に添え字づけられた 1 という数字は、1 回目に移動した特性ジョルダン細胞たちを意味しています。 \( i \neq j \) のとき、\( \left( x - \alpha _i \right)^{k_{i,1}} \) と \( \left( x - \alpha _j \right)^{k_{j,1}} \) との最大公約数は 1 なので、スミス標準形の直和定理 [2] を繰り返し適用することにより、\( R_1 \) の右下に移動した部分は、 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 1 & \\ & & & & \prod _{l = 1} ^{p} \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,1}} \end{array} \right) \end{align}\] という形になります。この部分を \( K_1 \) と置きます。 なお、ここで \( \prod \) は総乗を意味する記号として扱い、 \[ \begin{align} \prod _{l = 1} ^{p} \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,1}} = \left( x - \alpha _1 \right)^{k_{1,1}} \times \left( x - \alpha _2 \right)^{k_{2,1}} \times \cdots \times \left( x - \alpha _p \right)^{k_{p,1}} \end{align}\] とします。 また、ここまでの操作で \( R_1 \) は行列 \( R_2 \) に変形されたとします。
　続いて、先ほど選ばなかった特性ジョルダン細胞たちの固有値の中から互いに異なる固有値をすべて選び、それらを要素として持つ集合を \( \mathfrak P_1 \) とします。 \( \mathfrak P_1 \) に含まれる固有値に対する特性ジョルダン細胞のうち、次数の最大のものをそれぞれ一つずつ選び、それらを \( R_2 \) 中の \( K_1 \) の左上に移動します。 ただし、特性ジョルダン細胞を選ぶ際に、以前の操作ですでに移動したものは除いて選びます。 また、最大次数の特性ジョルダン細胞が二つ以上ある場合は、そのうちの一つを \( K_1 \) の左上に移動します。 先ほどと同様、スミス標準形の直和定理 [2] を繰り返し適用することで、\( K_1 \) の左上に移動した特性ジョルダン細胞たちは、 \[ \begin{align} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 1 & \\ & & & & \prod _{l, \alpha _l \in \mathfrak P_1 } \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,2}} \end{array} \right) \end{align}\] という形になります。この部分を \( K_2 \) と置きます。ここで、\( \prod _{l, \alpha _l \in \mathfrak P_1 } \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,2}} \) は \( \mathfrak P_1 \) に含まれるすべての \( \alpha _l \) についての \( \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,2}} \) の積を表します。 また、ここまでの操作で \( R_2 \) は行列 \( R_3 \) に変形されたとします。
　この操作を、すべての特性ジョルダン細胞が 1 回ずつ選ばれるまで続けたとき、\( r \) 回で操作が終了したとします。このとき、 \[ \begin{align} R_{r+1} = \left( \begin{array}{ccccc} K_r & & & & \\ & K_{r-1} & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & K_2 & \\ & & & & K_1 \end{array} \right) \end{align}\] という形になっています。 ここで、\( K_i \) の右下隅の成分は \( K_{i+1} \) の右下隅の成分で割り切れるため、スミス標準形の直和定理 [1] を繰り返し適用することにより、\( R_{r+1} \) は次の行列 \( S \) に基本変形されます。 \[ \begin{align} S = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \prod _{l, \alpha _l \in \mathfrak P_{r-1} } \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,r}} & & & \\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & \prod _{l, \alpha _l \in \mathfrak P_1 } \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,2}} & \\ & & & & & & \prod _{l = 1} ^{p} \left( x - \alpha _l \right)^{k_{l,1}} \end{array} \right) \end{align}\] さらに、\( S \) の対角成分はいずれも最高次係数が 1 の多項式であるため、\( S \) はスミス標準形です。 よって、\( S \) の対角成分のうち 1 以外のものを左上の方から順番に \( e_{n+1-r} (x) , \cdots , e_n (x) \) と表すことにすると、\( n \) 次ジョルダン行列の特性 \( x \)-行列 \( xE - J \) のスミス標準形は次の形をした行列であると言えます。 \[ \begin{align} S = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & e_{n+1-r} (x) & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & e_n (x) \end{array} \right) \end{align}\]

　2 つの \( n \) 次ジョルダン行列 \( J_1 \) と \( J_2 \) について、\( J_2 \) が \( J_1 \) を構成する特性ジョルダン細胞の直和を取る順番を並べ替えただけのものである場合、これらの特性 \( x \)-行列のスミス標準形は一致します。 一方、\( J_2 \) を構成する特性ジョルダン細胞が \( J_1 \) と異なる場合は、\( J_1 \) と \( J_2 \) のスミス標準形は一致しません。 よって、特性 \( x \)-行列による相似判定定理より、\( J_2 = P^{-1} J_1 P \) となる正則行列 \( P \) が存在することは、\( J_2 \) が \( J_1 \) を構成する特性ジョルダン細胞の直和を取る順番を並べ替えただけのものであることの必要十分条件であると言えます。

　また、\( n \) 個の 0 でない最高次係数が 1 の多項式 \( f_1 (x) , \cdots , f_n (x) \) があるとき、\( f_i (x) \) が \( f_{i-1} (x) \) で割り切れるなら、これらを単因子とするジョルダン行列が、ジョルダン細胞の並べ方を除いて、ただ一つ存在します。 多項式からジョルダン行列を作るには、 \[ \begin{align} f_1 (x) = \cdots = f_{n-r} (x) = 1, \ f_{n-r+1} (x) \neq 1 \end{align}\] であるなら、\( f_{n-r+1} (x) , \cdots , f_n (x) \) を \( \left( x - \alpha \right)^k \) の形の項の積に因数分解し（代数学の基本定理より可能）、各 \( \left( x - \alpha \right)^k \) に対応するジョルダン細胞 \( J \left( \alpha , k \right) \) すべての直和を作ると、それが求めるジョルダン行列となります。

　ところで、\( n \) 次行列 \( A \) の特性 \( x \)-行列 \( xE-A \) の階数は一般に \( n \) となります。 これは、\( xE-A \) の行列式を考えると、\( x \) の \( n \) 次式は対角成分のみの積にしか現れないことから、 \[ \begin{align} |xE -A| \neq 0 \end{align}\] であり、ゆえに、 0 でない小行列式の最大次数が \( n \) となることより成り立ちます。
　\( xE-A \) の階数が \( n \) であることより、この行列の単因子は \( n \) 個あり、それらを \( e_1 (x), \cdots , e_n (x) \) とすると、行列式因子の性質より、 \[ \begin{align} d_n (x) = | xE - A | = e_1 (x) \cdots e_n (x) \end{align}\] が成り立ちます。\( | xE - A | \) は \( x \) の \( n \) 次式であることから、\( e_1 (x) \cdots e_n (x) \) も \( x \) の \( n \) 次式となります。 ゆえに、\( e_1 (x), \cdots , e_n (x) \) を \[ \begin{align} e_1 (x) &= \prod _{i = 1} ^{q_1} \left( x - \beta _{1,i} \right) ^{m_{1,i}} \\\\ e_2 (x) &= \prod _{i = 1} ^{q_2} \left( x - \beta _{2,i} \right) ^{m_{2,i}} \\\\ & \vdots \\ e_n (x) &= \prod _{i = 1} ^{q_n} \left( x - \beta _{n,i} \right) ^{m_{n,i}} \\\\ \end{align}\] と因数分解したとき、 \[ \begin{align} \sum _{j=1} ^n \sum _{i=1} ^{q_j} m_{j,i} = n \end{align}\] が成り立ちます。これは、\( e_1 (x), \cdots , e_n (x) \) から作られるすべてのジョルダン細胞の次数の総和が \( n \) であることを意味します。 従って、\( e_1 (x), \cdots , e_n (x) \) から作られるジョルダン行列 \( J \) は \( n \) 次行列であり、\( xE - A \) と \( xE - J \) のスミス標準形は一致します。 よって、次の定理が成り立ちます。

　おわりに、ジョルダンの標準形に名を残しているマリ・エヌモン・カミーユ・ジョルダンは19世紀に活躍したフランスの数学者です。 ジョルダンの標準形以外にも、群論や測度論など様々な分野に業績を残しています。