目次
・正方行列
・逆行列
・正方行列の指数法則
カヤ
今回は正方行列について解説する。
正方行列
\[ 正方行列\]
\( \left( n , n \right) \) 型の行列を \( n \) 次正方行列あるいは単に \( n \) 次行列と呼ぶ。
\( n \) 次行列全体の集合の中では、和と積がつねに可能となります。
\( n \) 次行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) において、\( a_{ii} \ \ \left( i = 1,2, \ldots , n \right) \) を対角成分と呼びます。 対角成分以外がすべて 0 であるような行列を対角行列と呼びます。すなわち、対角行列は次の形をしています。 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] 対角成分がすべて 1 であるような対角行列を \( n \) 次単位行列と呼び、\( E_n \) あるいは単に \( E \) で表します。 \[ \begin{align} E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right) \end{align}\] 任意の \( m, n \) 型行列 \( A \) に対し、次が成り立ちます。 \[ \begin{align} & A E_n = A \\\\ & E_m A = A \end{align}\] このことから、単位行列は行列の積において 1 の役割を果たしているとみることができます。
\( n \) 次行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) において、\( a_{ii} \ \ \left( i = 1,2, \ldots , n \right) \) を対角成分と呼びます。 対角成分以外がすべて 0 であるような行列を対角行列と呼びます。すなわち、対角行列は次の形をしています。 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] 対角成分がすべて 1 であるような対角行列を \( n \) 次単位行列と呼び、\( E_n \) あるいは単に \( E \) で表します。 \[ \begin{align} E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right) \end{align}\] 任意の \( m, n \) 型行列 \( A \) に対し、次が成り立ちます。 \[ \begin{align} & A E_n = A \\\\ & E_m A = A \end{align}\] このことから、単位行列は行列の積において 1 の役割を果たしているとみることができます。
カヤ
続いて、逆行列というものを見ていこう。
逆行列
\[ 逆行列\]
\( n \) 次行列 \( A \) に対して、
\[ \begin{align}
XA = AX = E
\end{align}\]
を満たす行列 \( X \) が存在するとき、\( A \) を正則行列と呼ぶ。
また、このような \( X \) を \( A \) の逆行列と呼び、\( A^{-1} \) で表す。
\( A \) が正則行列であることを、\( A \) が正則であるとも言う。
正則な \( n \) 次行列 \( A \) に対して、逆行列はただ一つしか存在しません。
仮に、\( X \) 、\( Y \) がいずれも \( A \) の逆行列とすると、
\[ \begin{align}
X = XE = X \left( AY \right) = \left( XA \right) Y = EY = Y
\end{align}\]
となるためです。
正則行列について、次の 2 つの定理が成り立ちます。
[1] \( A \) が正則ならば、逆行列 \( A^{-1} \) も正則で、
\[ \begin{align}
\left( A^{-1} \right) ^{-1} = A
\end{align}\]
[2] \( A \) 、\( B \) がともに \( n \) 次正則行列ならば、積 \( AB \) も正則で、
\[ \begin{align}
\left( AB \right) ^{-1} = B^{-1} A^{-1}
\end{align}\]
カヤ
最後に、正方行列の指数法則についてみてみよう。
正方行列の指数法則
\[ 正方行列の指数法則\]
\( A \) が \( n \) 次行列のとき、\( AA \) を \( A^2 \) と書き、これを \( A \) の 2 乗と呼ぶ。
また、\( k \) 個の \( A \) の積を \( A^k \) と書き、これを \( A \) の \( k \) 乗と呼ぶ。これらについて、\( k \) 、\( l \)
を自然数とすれば、次の指数法則が成り立つ。
\[ \begin{align}
& A^k A^l = A^{k+l} \\\\
& \left( A^k \right) ^l = A^{kl} \\\\
& AB = BA \ \ \rm ならば \ \ \left( \it AB \rm \right) \it ^k \rm = \it A ^k B ^k
\end{align}\]
なお、\( A \) が正則行列の場合、
\[ \begin{align}
A^0 = E, \ \ A^{-k} = \left( A^{-1} \right) ^k
\end{align}\]
とおけば、上の指数法則は任意の整数 \( k \) 、\( l \) について成り立つ。
ナユミ
正方行列は実数や複素数の計算と同じようにできる部分も多いのね。
カヤ
そうだな。正方行列のそういう性質が様々な応用につながっていくんだな。
参考：
[1] 齋藤正彦、線型代数入門、東京大学出版会、1966年3月31日発行
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