数学用語集

　文字や記号に対応付けられた数のこと。
例： \( x = 3 \) という数式は、\( x \) の値は \( 3 \) であることを意味する。

　左辺にある項を右辺に、あるいは右辺にある項を左辺に移して、プラスマイナスの符号を変えること。
例： \( 1 + 2 = 3 \) という数式の左辺にある \( 2 \) を移項すると、 \( 1 = 3 - 2 \) となる。

　原点と呼ばれる平面上の一点 \( O \) で直角に交わる横軸（ \( x \) 軸）と縦軸（ \( y \) 軸）が描かれた平面のこと。この平面上に書かれた点の位置を座標と呼び、原点から横軸方向に \( x \) 、縦軸方向に \( y \) 進んだ点 \( P \) の座標を \( P (x,y) \) と表す。

　正方行列 \( A \) が \( A = A ^{\dagger} \) を満たすとき、\( A \) をエルミート行列と呼ぶ。 特に、実行列であるエルミート行列を実対称行列と呼ぶ。

　\( xy \) 座標平面上の一点 \( ( x_m , y_m ) \) から等しい距離 \( r \) にある点からなる集合のこと。ここで、点 \( ( x_m , y_m ) \) を円の中心と呼び、距離 \( r \) を円の半径と呼ぶ。円の二点を結ぶ線分で、円の中心を通るものの長さを円の直径と呼ぶ。円に沿って一周した長さを円周と呼ぶ。円は以下の式で表される。 \[ \left( x - x_m \right) ^2 + \left( y - y_m \right) ^2 = r^2 \] 円周は、直径と円周率の積に等しい。

　数学定数の一つ。\( \pi \) を用いて表される無理数であり、その値は \( 3.141592 \ldots \) である。

　\( i \) を虚数単位、\( \theta \) を実数として、 \[ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \] が成り立つ。これをオイラーの公式という。

　常微分方程式の数値積分の一つ。未知関数 \( y = f(x) \) についてその導関数 \( y' = f'(x) \) が既知であるとする。このとき、刻み幅を \( h \) 、初期値を \( \left( x_0,y_0 \right) \) として、数値解 \( \left( x_n,y_n \right) \) \( ( n \ \rm は自然数 )\) を次のように求める。 \[ \begin{align} x_n &= x_{n-1} + h \\\\ y_n &= y_{n-1} + hf'(x_{n-1}) \end{align}\]

　ある方程式に含まれる一つの変数に着目し、方程式を\[ (着目する変数) = \]の形に変形したもの。解を求めることを、着目する変数について「解く」、と言う。
例：方程式\[ x + 2y = 6\]において、これを \( y \) について解くと、\[ y = - \frac{1}{2} x + 3 \]となる。

　複素平面における部分集合 \( D \) の任意の点 \( \alpha \) に対して、ある \( r \gt 0 \) が存在し、点 \( \alpha \) の \( r \)-近傍について \[ \begin{align} U \left( \alpha , r \right) \subset D \end{align}\] が成り立つとき、集合 \( D \) を開集合と呼ぶ。

　\( 1 \) から \( n \) までの自然数の積を \( n \) の階乗と呼び、\( n! \) で表す。すなわち、 \[ n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 = \prod _{k=1} ^n k \] ただし、\( 0!=1 \) とする。

　任意の \( \left( m, n \right) \) 型行列 \( A \) は、基本変形を何回か施すことにより、次の標準形 \( F_{m, \ n} \left( r \right) \) に変形することができる。 \[ \begin{align} F_{m, \ n} \left( r \right) &= \left( \begin{array}{cc} E_{r} & O_{r, \ n-r} \\ O_{m-r, \ r} & O_{m-r, \ n-r} \end{array} \right) \end{align}\] ここで、\( r \) は \( A \) のみによって決まる数であり、これを行列 \( A \) の階数またはランクと呼ぶ。

　頂点と呼ばれる一点 \( O \) から出る二本の射線 \( l \) と \( m \) で挟まれた尖った部分のこと。二本の射線 \( l \) と \( m \) は角の辺と呼ばれる。この角を \( \angle O \) 、あるいは \( l \) 上の点 \( P \) と \( m \) 上の点 \( Q \) を用いて \( \angle POQ \) と表す。角には内側と外側があり、小さい方を内側、大きい方を外側とする。
　角 \( \alpha \) と角 \( \beta \) が頂点と一辺を共有し、残りの二辺が同一直線上にあるならば、それらを相隣る補角と呼ぶ。このとき、角 \( \alpha \) と角 \( \beta \) が等しいならば、それらは直角と呼ばれる。

　\( \Omega \) は根元事象と呼ばれる要素の集合であり、これを標本空間と呼ぶ。事象空間と呼ばれる \( \mathfrak F \) は \( \Omega \) の部分集合からなる集合族とし、その要素を事象と呼ぶ。次の[A1]～[A6]の「確率の公理」を満たす組 \( \left( \Omega, \mathfrak F \rm , \it P \right) \) を確率空間と呼ぶ。

[A1] \( \mathfrak F \) の2つの要素の和、差、共通部分はいずれも \( \mathfrak F \) に含まれる。
[A2] \( \Omega \in \mathfrak F \)
[A3] \( \mathfrak F \) の任意の要素 \( A \) に対して、「事象 \( \boldsymbol A \) の確率」と呼ばれる非負の実数 \( P \left( A \right) \) が対応付けられる。
[A4] \( P \left( \Omega \right) = 1 \)
[A5] \( \mathfrak F \) の2つの要素 \( A \) と \( B \) が交わらないならば、次式が成り立つ。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] このとき \( A \) と \( B \) は互いに排反であるという。
[A6] \( \mathfrak F \) の任意の減少列 \[ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots \] が、 \[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} A_i = \varnothing \] を満たすならば、 \[ \lim _{i \to \infty} P \left( A_i \right) = 0 \] が成り立つ。

　確率の公理より、以下の6つの命題が成り立つ。
[1] \( A \subset B \) ならば \( P \left( A \right) \leq P \left( B \right) \)
[2] \( P \left( \varnothing \right) = 0 \)
[3] \( P \left( A^c \right) = P \left( \Omega - A \right) = 1 - P \left( A \right) \)
ここで、\( A^c \) を余事象と呼ぶ。
[4] \( 0 \leq P \left( A \right) \leq 1 \)
[5] \( P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right) \)
[6] \( \mathfrak F \) の任意の列 \[ A_1 , \ A_2, \cdots , \ A_n , \cdots\] がいずれも互いに排反であるとき、 \[ P \left( \bigcup _{i=1} ^{\infty} A_i \right) = \sum _{i=1} ^{\infty} P \left( A_i \right)\]
確率空間の積
　標本空間が有限集合である2つの確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \rm ( \Omega _1) , \it P \rm _1 \right) \) 、\( \left( \Omega _2 , \mathcal P \rm ( \Omega _2) , \it P \rm _2 \right) \) があるとする。 このとき、2つの確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) を次で定義する。 \[ \begin{align} & \Omega = \Omega _1 \times \Omega _2 \\\\ & \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \\\\ \end{align}\] \( P \) については、次の2条件により定める。
[1] \( e \in \Omega _1 \) 、\( g \in \Omega _2 \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \) に対して、\( P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) \) を次式で定義する。 \[ P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) = P_1 \left( \left\{ e \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ g \right\} \right)\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。

標本空間が無限集合の場合
　標本空間が無限集合である2つの確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \left( \Omega _1 \right) , \it P \rm _1 \right) \) 、\( \left( \Omega _2 , \mathcal P \left( \Omega _2 \right) , \it P \rm _2 \right) \) があるとする。 \( - \infty \leq a \leq b \leq \infty \) を満たす定数 \( a \) 、\( b \) を用いて、 \[ \Omega _1 = \left[ a, \ b \right] \] と表されており、\( a \leq \alpha \leq \beta \leq b \) を満たす任意の定数 \( \alpha \) 、\( \beta \) について、 \[ P_1 \left( \left[ \alpha, \ \beta \right] \right) = \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \] が成り立つとする。ここで、\( f(x) \) は次の条件を満たす関数である。 \[ x \in \left[ a, \ b \right] \ において \ f \left( x \right) \geq 0 \] \[ \int _a ^b f \left( x \right) dx = 1\] 同様に、\( - \infty \leq c \leq d \leq \infty \) を満たす定数 \( c \) 、\( d \) を用いて、 \[ \Omega _2 = \left[ c, \ d \right] \] と表されており、\( c \leq \gamma \leq \delta \leq d \) を満たす任意の定数 \( \gamma \) 、\( \delta \) について、 \[ P_2 \left( \left[ \gamma, \ \delta \right] \right) = \int _{\gamma} ^{\delta} g \left( y \right) dy \] が成り立つとする。ここで、\( g(y) \) は次の条件を満たす関数である。 \[ y \in \left[ c, \ d \right] \ において \ g \left( y \right) \geq 0 \] \[ \int _c ^d g \left( y \right) dy = 1\] このとき、2つの確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) を次で定義する。 \[ \begin{align} & \Omega = \left\{ \left( \left[ \alpha, \ \beta \right], \ \left[ \gamma, \ \delta \right] \right) \ | \ a \leq \alpha \leq \beta \leq b, \ c \leq \gamma \leq \delta \leq d \right\} \\\\ & \mathfrak F = \mathcal P \rm \left( \Omega \right) \end{align}\] \( P \) については、次の2条件により定める。
[1] \( e = \left[ \alpha, \ \beta \right] \) 、\( g = \left[ \gamma, \ \delta \right] \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left( e, \ g \right) \) に対して、\( P \left( \left( e, \ g \right) \right) \) を次式で定義する。 \[ \begin{align} P \left( \left( e, \ g \right) \right) &= P_1 \left( e \right) \cdot P_2 \left( g \right) \\\\ &= \left( \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \right) \cdot \left( \int _{\gamma} ^{\delta} g \left( y \right) dy \right) \\\\ &= \int _{\alpha} ^{\beta} \left( \int _{\gamma} ^{\delta} f \left( x \right) g \left( y \right) dy \right) dx \end{align}\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。

確率分布
　確率空間 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) について、各々の根元事象に応じてただ一つの値が定まる変数 \( X \) を確率変数と呼ぶ。確率変数 \( X \) のとる値と、それに対応する根元事象の確率との対応関係を確率分布と呼ぶ。確率変数 \( X \) の値が \( a \) となる確率を \( P \left( X = a \right) \) と表し、\( X \) が \( a \) 以上 \( b \) 以下の値をとる確率を \( P \left( a \leq X \leq b \right) \) と表す。
　標本空間 \( \Omega \) が有限集合の場合、\( \Omega \) の元である根元事象 \( e_1,\ e_2,\cdots ,\ e_n \) のそれぞれに確率変数 \( x_1,\ x_2,\cdots ,\ x_n \) が対応するならば、次が成り立つ。 \[ P \left( X = x_i \right) = P \left( e_i \right) \geq 0 \ \ \ \left( i=1,\ 2,\cdots ,\ n \right) \] \[ \sum _{i=1} ^n P \left( X = x_i \right) = \sum _{i=1} ^n P \left( e_i \right) = 1\] 　標本空間 \( \Omega \) が無限集合の場合、根元事象 \( e \in \Omega \) が \( - \infty \leq a \leq e \leq b \leq \infty \) を満たす実数値をとるなら、根元事象 \( e \in \Omega \) に対応する確率変数 \( X \) を \( X = e \) とする。また、 \[ \left[ a, \ b \right] \ において \ f \left( x \right) \geq 0 \] \[ \int _a ^b f \left( x \right) dx = 1\] を満たす \( X \) の確率密度関数 \( f(x) \) を用いて、確率分布を次で表す。 \[ \begin{align} &P \left( X = c \right) = \int _c ^c f \left( x \right) dx = 0 \ \ \ \ \left( c \in \left[ a, \ b \right] \right) \\\\ &P \left( \alpha \leq X \leq \beta \right) = \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \ \ \ \ \left( a \leq \alpha \leq \beta \leq b \right) \end{align}\]

　ある線形同次微分方程式を満たす2つの解 \( y_1 \) 、\( y_2 \) について、\( c_1 \) と \( c_2 \) を任意の定数とすると、 \[ c_1 y_1 + c_2 y_2\] もこの線形同次微分方程式を満たす解である。これを重ね合わせの原理という。

　ある一種類の変数の値が、他の変数の値、定数の値および数に応じてただ一つに定まるという関係のこと。例えば、変数 \( y \) が変数 \( x \) の値に応じてただ一つに定まるとき、これを「 \( y \) は \( x \) の関数である」と言い、 \( y = f (x) \) 、あるいは単に \( f (x) \) と表す。この場合、 \( x \) を独立変数、 \( y \) を従属変数と呼ぶ。独立変数が取り得る値の範囲を定義域（ていぎいき）と呼び、従属変数が取り得る値の範囲を値域（ちいき）と呼ぶ。また、関数 \( f (x) \) に \( x = a \) を代入したものを \( f(a) \) と表す。
　独立変数が一つの関数を一変数関数と呼び、二つ以上の独立変数を持つ関数を多変数関数と呼ぶ。
　二つの関数 \( u = f(x) \) と \( y = g(u) \) があり、\( u = f(x) \) の値域が \( y = g(u) \) の定義域に含まれるとき、関数 \( y = g(f(x)) \) を定義することができ、これを \( f \) と \( g \) の合成関数と呼ぶ。
　関数 \( y = f(x) \) について、定義域のすべての \( a \leq b \) に対して \( f(a) \leq f(b) \) であるとき、\( f(x) \) は単調増加関数であるという。一方、定義域のすべての \( a \leq b \) に対して \( f(a) \geq f(b) \) であるとき、\( f(x) \) は単調減少関数であるという。
　関数 \( y = f(x) \) は定義域上で連続な単調増加（または減少）関数とする。このとき、\( y \) に対し \( x \) を対応させる関数を、関数 \( y = f(x) \) の逆関数と呼び、\( x = f^{-1} (y) \) と表す。または、\( x \) と \( y \) を入れ替えて、\( y = f^{-1} (x) \) と表す。
　関数 \( y = f(x) \) について、\( f(-x) = f(x) \) ならば \( f(x) \) は偶関数であるといい、\( f(-x) = -f(x) \) ならば \( f(x) \) は奇関数であるという。 偶関数同士の積、あるいは奇関数同士の積は偶関数となる。一方、偶関数と奇関数の積は奇関数となる。\( g (x) \) を偶関数、\( h(x) \) を奇関数とすれば、任意の実区間 \( \left[-M,M \right] \) での定積分について、 \[ \begin{align} \int ^M _{-M} g(x) dx &= 2 \int ^M _{0} g(x) dx \\\\ \int ^M _{-M} h(x) dx &= 0 \end{align}\] が成り立つ。

　確率変数 \( X \) のとる値の個数が有限であり、それが \( x_1,\ x_2, \ \cdots ,\ x_n \) と与えられたとき、確率変数 \( X \) の期待値または平均と呼ばれる値 \( E(X) \) は次式で定義される。 \[ E(X) = \sum _{i=1} ^n x_i \cdot P \left( X = x_i \right) \] また、確率変数 \( X \) が、\( - \infty \leq a \leq X \leq b \leq \infty \) を満たす実数値をとるなら、確率変数 \( X \) の期待値 \( E(X) \) は \( X \) の確率密度関数 \( f(x) \) を用いて次式で定義される。 \[ E(X) = \int _a ^b x f(x) dx \] 期待値の平行移動・定数倍
　確率変数 \( X \) の期待値について、\( a \) を定数とすると次が成り立つ。 \[ E(X+a) = E(X) + a \] \[ E(aX) = aE(X) \] 確率空間の積の期待値
　確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \rm ( \Omega _1) , \it P \rm _1 \right) \) の確率変数を \( X \) とし、確率空間 \( \left( \Omega _2 , \mathcal P \rm ( \Omega _2) , \it P \rm _2 \right) \) の確率変数を \( Y \) とする。 これら2つの確率空間の積において定義される \( E(X+Y) \) と \( E(XY) \) について、次が成り立つ。 \[ E(X+Y) = E(X) + E(Y) \] \[ E(XY) = E(X) \cdot E(Y)\] 期待値に関する不等式
　\( f(x) \) は実区間 \( I \) で定義された非負の単調増加関数とする。\( X \) を確率変数とすると、定数 \( \alpha \in I \ (ただし、f( \alpha ) \neq 0 )\) に対して次の不等式が成り立つ。 \[ P \left( X \geq \alpha \right) \leq \frac{E \left( f(X) \right)}{f( \alpha )}\] 同様に、\( g(x) \) を実区間 \( J \) で定義された非負の単調減少関数とすれば、定数 \( \beta \in J \ (ただし、g( \beta ) \neq 0 )\) に対して次の不等式が成り立つ。 \[ P \left( X \leq \beta \right) \leq \frac{E \left( g(X) \right)}{g( \beta )}\] また、これらの不等式から、定数 \( c \gt 0 \) に対して、以下のチェビシェフの不等式が成り立つ。 \[ P \left( |X - E(X)| \geq c \right) \leq \frac{E \left( \left( X - E(X) \right) ^2 \right)}{c^2} = \frac{V(X)}{c^2} \]

　次に示す、3 種類の正則行列を基本行列と呼び、行列 \( A \) の左あるいは右から基本行列をかけることを、 左基本変形あるいは右基本変形と呼ぶ。左基本変形と右基本変形を合わせて基本変形と呼ぶ。

[1] \( n \) 次単位行列の、第 \( i \) 列と第 \( j \) 列とを交換した行列 \( P_n \left( i , j \right) \)

[2] \( n \) 次単位行列の \( \left( i, i \right) \) 成分を、0 でない数 \( c \) に変えた行列 \( Q_n \left( i ; \ c \right) \)

[3] \( n \) 次単位行列の \( \left( i, j \right) \) 成分 \( \left( i \neq j \right) \) を、数 \( c \) に変えた行列 \( R_n \left( i,j ; \ c \right) \)

　\( n \) 次行列 \( A \) に対して、 \[ \begin{align} XA = AX = E \end{align}\] を満たす行列 \( X \) が存在するとき、\( A \) を正則行列と呼ぶ。 また、このような \( X \) を \( A \) の逆行列と呼び、\( A^{-1} \) で表す。 \( A \) が正則行列であることを、\( A \) が正則であるとも言う。

　関数 \( y= \sin x \) の定義域を \( \left[ - \pi / 2 , \pi / 2 \right] \) に制限したとき、その逆関数を \[ \begin{align} y = \sin ^{-1} x \ \ \left( -1 \leq x \leq 1 \right) \end{align}\] と書く。同様に、\( y = \cos x \) の定義域を \( \left[ 0 , \pi \right] \) に制限したとき、その逆関数を \[ \begin{align} y = \cos ^{-1} x \ \ \left( -1 \leq x \leq 1 \right) \end{align}\] と書く。また、\( y = \tan x \) の定義域を \( \left( - \pi / 2 , \pi / 2 \right) \) に制限したとき、その逆関数を \[ \begin{align} y = \tan ^{-1} x \ \ \left( - \infty \leq x \leq \infty \right) \end{align}\] と書く。\( \sin ^{-1} x \) 、\( \cos ^{-1} x \) 、\( \tan ^{-1} x \) を逆三角関数と呼ぶ。

　数 \( x \) に対して、\( xa = 1 \) を満たす数 \( a \) を \( x \) の逆数と呼び、\( a = \frac{1}{x} \) と表す。

　\( m \) 、\( n \) を任意の自然数とする。 \( m \times n \) 個の複素数 \[ \begin{align} a_{ij} \ \ \ \left( i = 1,2, \ldots ,m \ ; \ \ j = 1,2, \ldots ,n \right) \end{align}\] を、縦 \( m \) 個、横 \( n \) 個の長方形に並べたものを、\( \left( m, n \right) \) 型の行列と呼び、これを \[ \begin{align} A = \left( a_{ij} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] と表す。
　\( \left( m, 1 \right) \) 型の行列を \( m \) 項列ベクトル、あるいは \( m \) 項縦ベクトルと呼ぶ。 また、\( \left( 1, n \right) \) 型の行列を \( n \) 項行ベクトル、あるいは \( n \) 項横ベクトルと呼ぶ。
　行列を構成する \( m \times n \) 個の複素数を行列の成分と呼ぶ。 特に、上から \( i \) 番目、左から \( j \) 番目の位置にある成分 \( a_{ij} \) を \( \left( i, j \right) \) 成分と呼ぶ。 横に一列に並んだ列を行と呼び、縦に一列に並んだ列を列と呼ぶ。 特に、上から \( i \) 番目の行を第 \( i \) 行、左から \( j \) 番目の列を第 \( j \) 列と呼ぶ。
　\( \left( m, n \right) \) 型の行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) の第 \( j \) 列だけを取り出したものを、行列 \( A \) の第 \( j \) 列ベクトルと呼ぶ。 これを用いて、 \[ \begin{align} \boldsymbol a_1 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) , \ \boldsymbol a_2 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right) , \ \ldots \ , \ \boldsymbol a_n \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] と表されるとき、 \[ \begin{align} A = \left( \boldsymbol a_1 \ \ \boldsymbol a_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n \right) \end{align}\] と書くことがある。 行についても同様に \( A \) の第 \( i \) 行だけを取り出したものを、行列 \( A \) の第 \( i \) 行ベクトルと呼ぶ。 これを用いて、 \[ \begin{align} & \boldsymbol a_1 \ \mathrm = \left( a_{11} , a_{12} , \cdots , a_{1n} \right) \\\\ & \boldsymbol a_2 \ \mathrm = \left( a_{21} , a_{22} , \cdots , a_{2n} \right) \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\\\ & \boldsymbol a_m \ \mathrm = \left( a_{m1} , a_{m2} , \cdots , a_{mn} \right) \end{align}\] と表されるとき、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol a_1 \\ \boldsymbol a_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_m \end{array} \right) \end{align}\] と書くことがある。
　2つの行列 \( A \) と \( B \) が同じ型の行列であり、\( A \) と \( B \) の対応する成分がすべて等しいとき、\( A \) と \( B \) は等しいといい、このことを \( A=B \) で表す。すなわち、 \[ \begin{align} A = \left( a_{ij} \right) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] \[ \begin{align} B = \left( b_{ij} \right) = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] と表されているとき、 \[ \begin{align} a_{ij} = b_{ij}\ \ \ \left( i = 1,2, \ldots ,m \ ; \ \ j = 1,2, \ldots ,n \right) \end{align}\] が成り立つことを、\( A=B \) で表す。

行列の和と定数倍
　2つの \( \left( m, n \right) \) 型の行列 \( A \) 、\( B \) に対して、対応する成分の和を成分とする同じ型の行列を \( A \) と \( B \) の和と呼び、\( A+B \) で表す。すなわち、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] \[ \begin{align} B = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] ならば、 \[ \begin{align} A + B = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \ldots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \ldots & a_{mn} + b_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] である。
　また、複素数 \( c \) に対し、\( \left( m, n \right) \) 型の行列 \( A \) の各成分を \( c \) 倍して得られる同じ型の行列を、 \( A \) の \( c \) 倍と呼び、\( cA \) と表す。すなわち、 \[ \begin{align} cA = \left( \begin{array}{cccc} ca_{11} & ca_{12} & \ldots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \ldots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \ldots & ca_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] である。特に、\( \left( -1 \right) A \) を \( -A \) で表す。 さらに、\( A + \left( - B \right) \) を \( A - B \) で表す。
　行列の和と定数倍について、次の演算法則が成り立つ。 \[ \begin{align} \left( A + B \right) + C &= A + \left( B + C \right) \\\\ A + B &= B + A \\\\ c \left( A + B \right) &= cA + cB \\\\ \left( c + d \right) A &= cA + dA \\\\ \left( cd \right) A &= c \left( dA \right) \\\\ \end{align}\]
行列の積
　\( A \) を \( \left( l,m \right) \) 型行列、\( B \) を \( \left( m,n \right) \) 型行列とする。 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \ldots & a_{lm} \end{array} \right) \end{align}\] \[ \begin{align} B = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] と表されているとき、積 \( AB \) を次式で定義する。 \[ \begin{align} AB = \left( \begin{array}{cccc} \sum _{j = 1} ^m a_{1j} b_{j1} & \sum _{j = 1} ^m a_{1j} b_{j2} & \ldots & \sum _{j = 1} ^m a_{1j} b_{jn} \\ \sum _{j = 1} ^m a_{2j} b_{j1} & \sum _{j = 1} ^m a_{2j} b_{j2} & \ldots & \sum _{j = 1} ^m a_{2j} b_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum _{j = 1} ^m a_{lj} b_{j1} & \sum _{j = 1} ^m a_{lj} b_{j2} & \ldots & \sum _{j = 1} ^m a_{lj} b_{jn} \end{array} \right) \end{align}\] 　行列の積について、次の演算法則が成り立つ。 \[ \begin{align} \left( A B \right) C &= A \left( B C \right) \\\\ A \left( B + C \right) &= AB + AC \\\\ \left( A + B \right) C &= AC + BC \\\\ c \left( AB \right) &= \left( cA \right) B = A \left( cB \right) \end{align}\]

　\( n \) 文字の置換全体の集合を \( S_n \) とする。\( n \) 次正方行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) に対し、 \[ \begin{align} \sum _{\sigma \in S_n } \rm sgn \ \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \end{align}\] を、行列 \( A \) の行列式と呼び、 \[ \begin{align} \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right| , \ \ \ \left| A \right| , \ \ \ \rm det \it \ A \end{align}\] などで表す。 ここで、記号 \[ \begin{align} \sum _{\sigma \in S_n } \end{align}\] は、すべての \( n \) 文字の置換 \( \sigma \) にわたる和を表す。
　行列 \( A \) の列ベクトルを \( \boldsymbol a_1 , \ \ \boldsymbol a_2 , \ \ \cdots , \ \ \boldsymbol a_n \) とするとき、 \[ \begin{align} \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _1 , \ \ \it \boldsymbol a \rm _2 , \ \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a_n \right) \end{align}\] と表すこともある。

[1] 関数 \( y = f(x) \) について、\( x \) が \( x = a \) とならずに限りなく \( a \) に近づくとき、\( y \) の値が限りなく \( b \) に近づくなら、\( y = f (x) \) は \( x \to a \) のときに \( b \) に収束するという。このとき、\( b \) を極限値と呼び、\[ \lim _{x \to a} f(x) = b \]と表す。

[2] 数列 \( \{ a_n \} \) について、どれだけ小さな任意の正の数 \( \epsilon \) を選んだとしても、それに応じてある数 \( M \) を選ぶことで、\( M \) 番目よりあとのすべての項は \( a \) との差の絶対値が \( \epsilon \) より小さくなるならば、数列 \( \{ a_n \} \) は収束し、その極限値は \( a \) であるという。このことを\[ \lim _{n \to \infty} a_n = a \]と表す。

　実区間 \( [a,b] \) を定義域とし、この実区間上で連続な実数値関数 \( x(t) \) 、\( y(t) \) により定義される複素数値関数 \[ \begin{align} z(t) = x(t) + i y(t) \ \ \left( a \leq t \leq b \right) \ \ \ldots (1) \end{align}\] または、\( (1) \) を満たす複素平面上の点の集合 \( C \) を（連続）曲線と呼び、\( z(a) \) をその始点、\( z(b) \) をその終点と呼ぶ。 特に、始点と終点が一致するとき、すなわち \( z(a) = z(b) \) が成り立つとき、その曲線を閉曲線と呼ぶ。 また、閉曲線において始点と終点以外に一致する 2 点が存在しないとき、その曲線は単一であると言う。

　一変数関数 \( y = f(x) \) が \( x = a \) を境にして増加傾向から減少傾向に転ずるとき、\( y = f(x) \) は \( x = a \) において極大になるといい、\( f(a) \) を極大値と呼ぶ。
　逆に、一変数関数 \( y = f(x) \) が \( x = a \) を境にして減少傾向から増加傾向に転ずるとき、\( y = f(x) \) は \( x = a \) において極小になるといい、\( f(a) \) を極小値と呼ぶ。
　極大値と極小値を合わせて極値と呼ぶ。
　一変数関数 \( y = f(x) \) が \( a \) を含む実区間で微分可能とする。このとき、\( y = f(x) \) が \( x = a \) で極値を取れば \( f'(a) = 0 \) である。

　\( xy \) 座標平面において、点 \( P ( x_1 , y_1 ) \) と点 \( Q ( x_2 , y_2 ) \) との距離 \( d \) は次式で与えられる。 \[ d = \sqrt{ \left( x_2 - x_1 \right) ^2 + \left( y_2 - y_1 \right) ^2 } \]

　複素平面において、中心 \( \alpha \) 、半径 \( r \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , r \right) = \left\{ z | \left| z - \alpha \right| \lt r \right\} \end{align}\] を、点 \( \alpha \) の \( r \)-近傍と呼ぶ。 特に、半径を明記しない場合、単に点 \( \alpha \) の近傍と呼び、\( U \left( \alpha \right) \) と表す。

　一変数関数 \( f (x) \) は、有限なある実区間で有限個しか不連続点を持たないなら、その実区間で区分的に連続であるという。 不連続点 \( x \) において、右側からの極限値と左側からの極限値を、それぞれ \[ \begin{align} f \left( x + 0 \right) &= \lim _{\epsilon \to 0} f \left( x + \epsilon \right) \ \ \ \ \left( \epsilon \gt 0 \right) \\\\ f \left( x - 0 \right) &= \lim _{\epsilon \to 0} f \left( x - \epsilon \right) \ \ \ \ \left( \epsilon \gt 0 \right) \end{align}\] と表す。

　異なる \( n \) 個のものから \( r \) 個を取り出して1組としたものを、\( n \) 個から \( r \) 個とる組合せと呼び、その総数を \( _n \rm C \it _r \) で表す。組合せの総数について、次式が成り立つ。 \[ \begin{align} _n \rm C \it _r &= \ _{n} \rm C \it _{n-r} \\\\ &= \frac{_n \rm P \it _r}{r!} \\\\ &= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{r(r-1)(r-2) \cdots 1} \\\\ &= \frac{n!}{r!(n-r)!} \end{align}\]

　関数 \( y = f(x) \) について、この関係を満たす \( x \) と \( y \) の組からなる点 \( (x,y) \) の全体を関数 \( y = f(x) \) のグラフという。通常、一変数関数のグラフは、原点 \( O(0,0) \) を中心とする \( xy \) 座標平面上に書き表される。

　\( A \) を \( n \) 次正則行列、\( \boldsymbol x \) を未知の \( n \) 項列ベクトル、\( \boldsymbol b \) を \( n \) 項列ベクトルとする。 \( n \) 元連立１次方程式 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \boldsymbol b \end{align}\] のただ一つの解は次式で与えられる。 \[ \begin{align} x_j &= \frac{\left| A_j \right|}{\left| A \right|} \ \ \left( j = 1,2, \ldots , n \right) \end{align}\] ただし、\( A_j \) は行列 \( A \) の第 \( j \) 列を \( \boldsymbol b \) で置き換えた行列である。 これをクラメルの公式と呼ぶ。

　関数 \( y = F (x) \) について、 \( \frac{dy}{dx} = f (x) \) となるとき、\( F(x) \) を \( f(x) \) の原始関数という。

　円周上の二点 \( P \) 、\( Q \) を端の点とする円周上の部分のこと。\( P \) と \( Q \) を結んだ線分を弦と呼ぶ。また、\( P \) と \( Q \) から円の中心 \( O \) に線分を引き、\( \angle POQ \) を弧のある側で測った角度をこの弧の中心角と呼ぶ。

[1] 方程式や不等式の左辺および右辺において、\( + \) か \( - \) の記号で区切られているそれぞれの変数、定数および数のこと。ただし、かっこで区切られた部分は一つの項として扱う。
例： \( 2x + (3a - 2) - 1 = 0 \) において、左辺の項は \( 2x \) 、\( (3a - 2) \) 、\( 1 \) であり、右辺の項は \( 0 \) である。

[2] 数列を構成する一つ一つの数のこと。

\[ Z_1, Z_2, \ldots , Z_n \] をいずれも整数の集合とする。 直積 \[ Z = Z_1 \times Z_2 \times \ldots \times Z_n \] の元 \( z = \left( z_1 , z_2, \ldots , z_n \right) \) を \( n \) 次元格子と呼ぶ。

　領域 \( D \) 上の複素関数 \[ \begin{align} f \left( z \right) = u \left( x, y \right) + i v \left( x,y \right) \end{align}\] が \( D \) で正則ならば、2 変数実数値関数 \( u \left( x, y \right) \) 、\( v \left( x, y \right) \) はともに \( D \) を定義域とする \( C^1 \) - 関数であり、次の Cauchy-Riemann の関係式が成り立つ。 \[ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\\\ & \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \end{align}\] 　逆に、\( u \left( x, y \right) \) 、\( v \left( x, y \right) \) がともに \( D \) を定義域とする \( C^1 \) - 関数であり、Cauchy-Riemann の関係式が \( D \) の各点で成立すれば、\( f \left( z \right) \) は \( D \) で正則である。

　証明なしに述べられる命題のことで、これから他の命題を証明するためのもの。

　\( A \) を \( n \) 次行列、\( E_n \) を \( n \) 次単位行列とする。 \( \lambda \) を変数とする次の方程式を固有方程式または特性方程式と呼ぶ。 \[ \begin{align} \left| A - \lambda E_n \right| = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| = 0 \end{align}\] 固有方程式は \( \lambda \) についての \( n \) 次方程式であり、その解 \( \lambda _1 , \ \lambda _2 , \cdots , \ \lambda _n \) を固有値と呼ぶ。 \( \boldsymbol x \) を未知の \( n \) 項列ベクトルとすれば、各固有値 \( \lambda _k \ \left( k = 1,2, \cdots , n \right) \) に対して、 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \lambda _k \boldsymbol x \ \ \ \left( k = 1,2, \cdots , n \right) \end{align}\] は自明でない解 \( \boldsymbol x_k \) を持つ。この方程式を固有値方程式と呼び、解となる \( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol x_k \) を \( \lambda _k \) に対する固有ベクトルと呼ぶ。

　ルート \( \sqrt{} \) のこと。

　引き算の結果のこと。

　以下の式で表される \( n \) 個の変数 \( x_1 , x_2 , \ldots , x_n \) の多項式 \( \Delta \left( x_1 , x_2 , \ldots , x_n \right) \) を \( n \) 変数の差積と呼ぶ。 \[ \begin{align} \Delta \left( x_1 , x_2 , \ldots , x_n \right) &= \prod _{i \lt j} \left( x_j - x_i \right) \\\\ &= \prod _{j=2} ^n \left\{ \prod _{i=1} ^{j-1} \left( x_j - x_i \right) \right\} \\\\ &= \left( x_n - x_{n-1} \right) \left( x_n - x_{n-2} \right) \cdots \left( x_n - x_{2} \right) \left( x_n - x_{1} \right) \times \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( x_{n-1} - x_{n-2} \right) \cdots \left( x_{n-1} - x_{2} \right) \left( x_{n-1} - x_{1} \right) \times \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \cdots \cdots \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( x_{3} - x_{2} \right) \left( x_{3} - x_{1} \right) \times \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( x_{2} - x_{1} \right) \end{align}\]

　導関数を近似する方法のこと。

[1] 1変数関数 \( f \left( x \right) \) の差分近似

・前進差分近似 \[ \frac{df}{dx} \cong \frac{f \left( x + h \right) - f \left( x \right)}{h} \] ・後退差分近似 \[ \frac{df}{dx} \cong \frac{f \left( x \right) - f \left( x - h \right)}{h} \] ・中心差分近似 \[ \begin{align} \frac{df}{dx} & \cong \frac{f \left( x + h \right) - f \left( x - h \right)}{2h} \\\\ \frac{d^2f}{dx^2} & \cong \frac{f \left( x + h \right) - 2 f \left( x \right) + f \left( x - h \right)}{h^2} \end{align}\]
[2] 2変数関数 \( f \left( x , y \right) \) の差分近似

・前進差分近似 \[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} & \cong \frac{f \left( x + h , y \right) - f \left( x , y \right)}{h} \\\\ \frac{\partial f}{\partial y} & \cong \frac{f \left( x , y + h \right) - f \left( x , y \right)}{h} \end{align}\] ・後退差分近似 \[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} & \cong \frac{f \left( x , y \right) - f \left( x - h, y \right)}{h} \\\\ \frac{\partial f}{\partial y} & \cong \frac{f \left( x , y \right) - f \left( x , y - h \right)}{h} \end{align}\] ・中心差分近似 \[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} & \cong \frac{f \left( x + h, y \right) - f \left( x - h, y \right)}{2h} \\\\ \frac{\partial f}{\partial y} & \cong \frac{f \left( x , y + h \right) - f \left( x , y - h \right)}{2h} \\\\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} & \cong \frac{f \left( x + h, y \right) - 2 f \left( x, y \right) + f \left( x - h, y \right)}{h^2} \\\\ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} & \cong \frac{f \left( x , y + h \right) - 2 f \left( x, y \right) + f \left( x , y - h \right)}{h^2} \end{align}\]

　微分方程式を差分近似により表した差分方程式を解くことにより数値解を求める数値積分法の総称。

　単位円周上に点 \( P (x,y) \) を取り、一般角を \( \theta \) で表す。このとき、次の三つの \( \theta \) の関数を三角関数と呼ぶ。 \[ \sin \theta = y\] \[ \cos \theta = x\] \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x} \ (x \neq 0) \]
　三角関数については、以下の公式が成り立つ。ただし、三角関数の変数はすべて一般角とする。 \[ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \] \[ \tan ^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \] \[ \sin (- \theta ) = - \sin \theta \] \[ \cos (- \theta ) = \cos \theta \] \[ \tan (- \theta ) = - \tan \theta \] \[ \sin \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \] \[ \cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ - \sin \theta = \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ - \cos \theta = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \]
\[ 加法定理 \] \[ \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] \[ \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \] \[ \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] \[ \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] \[ \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] \[ \tan ( \alpha - \beta ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \]
\[ 三角関数の合成\] \[ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right) \] ここで、 \[ \begin{align} \cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\\\ \sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{align}\]
\[ 積を和に直す公式 \] \[ \begin{align} \sin \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \right\} \\\\ \cos \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \right\} \\\\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \right\} \\\\ \sin \alpha \sin \beta &= - \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \right\} \\\\ \end{align}\]
\[ 和を積に直す公式 \] \[ \begin{align} \sin A + \sin B &= 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\\\ \sin A - \sin B &= 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \\\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\\\ \cos A - \cos B &= - 2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \end{align}\]

　同一直線上にない三点を二つずつ対にして線分で結んだもの。与えられた三点を三角形の頂点と呼ぶ。頂点を結ぶ三つの線分を三角形の辺と呼ぶ。隣り合った辺がつくる角の内側を三角形の内角と呼ぶ。

　平均とも呼ばれる。二つの数 \( a, b \) の算術平均は \( \frac{a + b}{2} \) で与えられる。

　\( a \) を正の実数とする。関数\[ y = a^x \]を \( a \) を底とする指数関数と呼ぶ。

　 \( 1 \) 以上の整数のこと。
例： \( 1,2,3,\ldots \)

　成分がすべて実数である行列を実行列と呼ぶ。 成分がすべて正の実数である実行列を正行列と呼び、成分がすべて 0 または正の実数である実行列を非負行列と呼ぶ。

　実数の範囲を表す手法の一つ。変数 \( x \) と定数 \( a \) および \( b \) を含む不等式を用いて、次のように分類される。
\( [a,b] \) ： \( a \leqq x \leqq b \)
\( (a,b] \) ： \( a \lt x \leqq b \)
\( [a,b) \) ： \( a \leqq x \lt b \)
\( (a,b) \) ： \( a \lt x \lt b \)

　有理数と無理数を合わせた数。

　直線上の一点 \( O \) の片側にある点の全体のこと。\( O \) をこの射線の原点と呼ぶ。

　\( a \) を正の定数として、一変数関数 \( f(x) \) がすべての \( x \) に対して \[ f(x+a) = f(x) \] を満たすとき \( f(x) \) を周期 \( a \) の周期関数と呼ぶ。

　範囲のはっきりした「ものの集まり」のことを集合と呼ぶ。1つの集合を形作る個々のものをその集合の要素あるいは元と呼ぶ。\( x \) が集合 \( X \) の元であることを、 \[ x \in X \ \ あるいは \ \ X \ni x \] と書く。これを、\( x \) が \( X \) に属する、\( x \) は \( X \) に含まれる、\( X \) が \( x \) を含む、等とも言う。一方、\( x \) が \( X \) の元でないことは、 \[ x \notin X \ \ あるいは \ \ X \not\ni x \] と書く。
　ある集合のすべての要素を \( a,b,c, \ldots \) というように列挙することができる場合、その集合を \[ \left\{ a,b,c, \ldots \right\} \] という記号で表す。これを集合の外延的記法と呼ぶ。一方、ある条件 \( C(x) \) が与えられたとき、その条件を満たす \( x \) 全部の集合を \[ \left\{ x|C(x) \right\} \] という記号で表す。この記法を集合の内包的記法と呼ぶ。
　有限個の元からなる集合を有限集合と呼び、無限に多くの元を持つ集合を無限集合と呼ぶ。
　元を1つも含まない集合を空集合と呼び、記号 \[ \varnothing \] で表す。

　\( X \) と \( Y \) を2つの集合とする。\( X \) の任意の元が \( Y \) の元であり、かつ、\( Y \) の任意の元が \( X \) の元であるとき、\( X \) と \( Y \) は等しいと言い、これを \[ X = Y \] と表す。
　\( X \) の任意の元が \( Y \) の元であるとき、\( X \) は \( Y \) の部分集合である、あるいは \( X \) は \( Y \) に含まれるといい、 \[ X \subset Y \ \ あるいは \ \ Y \supset X \] と書く。これは \( X = Y \) である場合も考慮される。空集合 \( \varnothing \) は任意の集合の部分集合とする。
　\( X \) が \( Y \) の部分集合で、\( X = Y \) でないとき、\( X \) は \( Y \) の真部分集合であるという。
　\( X \) と \( Y \) の少なくとも一方の元であるもの全体の集合を、\( X \) と \( Y \) の和集合とよび、記号 \[ X \cup Y \] で表す。また、\( X \) と \( Y \) の両方の元であるもの全体の集合を、\( X \) と \( Y \) の共通部分とよび、記号 \[ X \cap Y \] で表す。\( X \cap Y = \varnothing \) であるとき、\( X \) と \( Y \) は交わらないと言い、\( X \cap Y = \varnothing \) でないとき \( X \) と \( Y \) は交わると言う。

　「集合の集合」のことを集合族と呼ぶ。\( \Omega \) を1つの集合族とするとき、\( \Omega \) に属する少なくとも1つの集合の元となっているもの全体の集合を「集合族 \( \Omega \) の和集合」と呼び、これを \[ \bigcup _{X \in \Omega} X \] と表す。 また、\( \Omega \) に属するすべての集合に共通な元全体の集合を「集合族 \( \Omega \) の共通部分」と呼び、これを \[ \bigcap _{X \in \Omega} X \] と表す。
　添字集合 \( I \) の各元 \( i \) に対し、それぞれ1つの集合 \( X_i \) を対応付けることにより得られる集合族を \[ \left\{ X_i \right\} _{i \in I} \] と表す。この集合族の和集合を \[ \bigcup _{i \in I} X_i \] で表し、共通部分を \[ \bigcap _{i \in I} X_i \] で表す。\( I \) が \( n \) 個の元をもつ有限集合で、その元が \( 1,2, \cdots , n \) と書かれているときには、集合族 \( \left\{ X_i \right\} _{i \in I} \) を \[ \left\{ X_i \right\} _{i=1,2, \cdots , n} \] のようにも表し、その和集合を \[ \bigcup _{i=1} ^n X_i \ \rm または \ \it X \rm _1 \cup \it X \rm _2 \cup \cdots \cup \it X _n \] と書き、その共通部分を、 \[ \bigcap _{i=1} ^n X_i \ \rm または \ \it X \rm _1 \cap \it X \rm _2 \cap \cdots \cap \it X _n \] と書く。\( I \) が正の整数全体の集合である場合、集合族 \( \left\{ X_i \right\} _{i \in I} \) の和集合を \[ \bigcup _{i=1} ^{\infty} X_i \] と書き、その共通部分を \[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} X_i \] と書く。

　\( X \) 、\( Y \) を2つの集合とする。\( Y \) の元であって \( X \) の元でないようなもの全体の集合を \( Y - X \) で表す。特に \( X \subset Y \) である場合には、\( Y - X \) を、\( Y \) に対する \( X \) の補集合と呼ぶ。
　考えている集合のすべてが、ある集合 \( U \) の部分集合であるとき、\( U \) を全体集合と呼ぶ。この場合、集合 \( X \) の元でないが、全体集合 \( U \) の元である集合を単に \( X \) の補集合と呼び、 \[ U - X = X^c \] と書く。
　補集合に関して、次のド・モルガンの法則が成り立つ。 \[ \left( X \cup Y \right) ^c = X^c \cap Y^c \] \[ \left( X \cap Y \right) ^c = X^c \cup Y^c \] 　部分集合全体の集合をべき集合と呼ぶ。集合 \( U \) のべき集合を \( \mathcal P \rm ( \it U \rm ) \) と表す。

　有限集合 \( I = \left\{ 1,\ 2,\ \cdots ,\ n \right\} \) を添字集合とする集合族 \( \left\{ X_i \right\} _{i=1,2, \cdots , n} \) が与えられたとする。そのとき、各 \( X_i \) からそれぞれ1つの元 \( x_i \) をとって、順序付けられた組 \[ \left( x_1 , \ x_2 , \ \cdots , \ x_n \right) \] を作り、そのような組全体の集合を \( \left\{ X_i \right\} _{i=1,2, \cdots , n} \) の直積（または \( X_1 , \ X_2 , \cdots , \ X_n \) の直積）と呼ぶ。これを、 \[ X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \ \ \rm または \ \ \it \prod ^n _{i \rm =1} \it X_i \] で表す。
　直積 \( Z = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \) の元 \( z = \left( x_1 , \ x_2 , \ \cdots , \ x_n \right) \) に対し、\( x_i \) はその \( X_i \) 成分または第 \( i \) 成分と呼ばれる。成分の代わりに座標という言葉を用いることもある。

　有限集合 \( X \) に対して、その元の個数を \( X \) の濃度と言い、 \[ |X| \] と書く。\( X \) と \( Y \) を有限集合とすると、濃度について、次が成り立つ。 \[ |X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y |\]

　異なる \( n \) 個のものから \( r \) 個を取り出して1列に並べたものを、\( n \) 個から \( r \) 個とる順列と呼び、その総数を \( _n \rm P _ \it r \) で表す。順列の総数について次式が成り立つ。 \[ _n \rm P _ \it r \rm = \it n \rm( \it n \rm -1)( \it n \rm -2) \cdots ( \it n \rm - \it r \rm + 1) = \frac{\it n \rm !}{\rm \left( \it n \rm - \it r \rm \right) !}\]
同じものを含む順列
　\( m \) 種類の文字がすべて合わせて \( n \) 個あり、それらのうち文字 \( L_i \) の個数が \( n_i \) のとき、これらを1列に並べる並べ方の総数は、次式で与えられる。 \[ \frac{n!}{n_1 ! n_2 ! \cdots n_m !} \] \[ ただし、n = \sum _{i=1} ^m n_i \]

　わり算の結果のこと。

　かけ算のこと。かっこを含む式の乗法について、以下の公式は基本的である。 \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \] \[ (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \] \[ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd \]

　小数点 \( (.) \) を用いて表される数。有限小数と無限小数に分けられ、無限小数は循環するものと循環しないものがある。無限小数の循環する部分を循環節と呼び、循環節の始まりの数字と終りの数字にドット \( (\ \dot{}\ ) \) を付けて表す。有限小数と循環する無限小数は有理数であり、循環しない無限小数は無理数である。
例：
\( 1.25 \) は有限小数であり、\( 1.25 = \frac{5}{4} \) である。
\( 0.272727 \ldots = 0.\dot{2}\dot{7} \) は循環する無限小数であり、\( 0.\dot{2}\dot{7} = \frac{3}{11} \) である。
\( 3.141592 \ldots = \pi \) は循環しない無限小数である。

　１変数の未知関数の導関数を含む方程式。特解を求めるためには、方程式の両辺を不定積分した上で、解に含まれる既知の一点 \( (x,y) = (x_0 , y_0) \) を与えて積分定数を定める必要があり、この既知の一点を初期条件と呼ぶ。
例：常微分方程式\[ \frac{dy}{dx} = k \ \ (k \ は定数) \]の両辺を不定積分すると、\[ y = kx + C \ \ ( C \ は積分定数) \]となる。初期条件として、一点 \( (x,y) = (0,0) \) を与えると、 \( C = 0 \) となるので、解は\[ y = x\]となる。

　次式で定義される関数のこと。 \[ {\rm {sinc}} \ x = \frac{\sin x}{x} \] sinc関数について、次の極限公式が成りたつ。 \[ \lim _{x \to 0} {\rm {sinc}} \ x = \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

　自然数 \( n \) を変数にとる命題関数 \( P(n) \) を証明する手法。二つの形式がある。

第一形式
　次の二つのことが示されたなら、\( P(n) \) はすべての自然数について正しい。
[1] \( P(1) \) は正しい。
[2] 任意の自然数 \( k \) について、\( P(k) \) が正しいと仮定すれば、\( P(k+1) \) も正しい。

第二形式
　次の二つのことが示されたなら、\( P(n) \) はすべての自然数について正しい。
[1] \( P(1) \) は正しい。
[2] 任意の自然数 \( k \) について、\( 1 \leq i \leq k \) であるすべての自然数 \( i \) に対して \( P(i) \) が正しいと仮定すれば、\( P(k+1) \) も正しい。

　行列 \( A \) の複素共軛行列の転置行列 \( ^t \left( A ^* \right) \) を \( A \) の随伴行列と呼び、\( A ^{\dagger} \) で表す。
　随伴行列について、次が成り立つ。 \[ \begin{align} & \left( A ^{\dagger} \right) ^{\dagger} = A \\\\ & \left( A + B \right) ^{\dagger} = A ^{\dagger} + B ^{\dagger} \\\\ & \left( cA \right) ^{\dagger} = c^* A ^{\dagger} \\\\ & \left( A B \right) ^{\dagger} = B ^{\dagger} A ^{\dagger} \end{align}\]

　文字や記号を並べて、それらに数量的な意味を与えたもの。式（しき）とも呼ばれる。

　適切な近似法を用いて微分方程式の解の近似値を求める方法。数値積分により得られた解の近似値を数値解と呼ぶ。数値積分においては、解の定義域を適切な幅で分割する必要があるが、この分割の幅を刻み幅と呼ぶ。

　ある一定の規則に従って並んでいる数の列のこと。数列を構成する各々の数を項と呼ぶ。有限個の項を持つ数列を有限数列と呼び、無限個の項を持つ数列を無限数列と呼ぶ。数列を一般的に、 \[ a_1, \ a_2,\ a_3, \ldots ,\ a_n, \ldots \] などと表す。この場合、\( a_1 \) を初項と呼ぶ。有限数列の場合、数列の最後の項は末項と呼ばれる。数列は \( \{ a_n \} \) と表されることもある。
　数列の各項を数列の項の番号 \( n \) を用いて表した式を一般項と呼ぶ。

　直線 \( l \) とその上にない点 \( A \) があるとする。\( A \) から \( l \) 上の点 \( H \) に線分を引く。このとき、角 \( H \) が直角であるならば、線分 \( AH \) は \( A \) から \( l \) に下ろした垂線と呼ばれる。

　数学の中で重要と位置付けられている定数のこと。円周率 \( \pi \) や自然対数の底 \( e \) などがある。

　正方行列 \( A \) が \( A ^{\dagger} A = A A ^{\dagger} \) を満たすとき、\( A \) を正規行列と呼ぶ。

　\( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_k \) が互いに直交し、いずれのベクトルの長さも 1 に等しいとき、それらは正規直交系であると言う。

　 \( 0 \) に \( + 1 \) あるいは \( - 1 \) の操作を任意の回数行って得られる数。
例： \( \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \)

　\( \left( n , n \right) \) 型の行列を \( n \) 次正方行列あるいは単に \( n \) 次行列と呼ぶ。
　\( A \) が \( n \) 次行列のとき、\( AA \) を \( A^2 \) と書き、これを \( A \) の 2 乗と呼ぶ。 また、\( k \) 個の \( A \) の積を \( A^k \) と書き、これを \( A \) の \( k \) 乗と呼ぶ。これらについて、\( k \) 、\( l \) を自然数とすれば、次の指数法則が成り立つ。 \[ \begin{align} & A^k A^l = A^{k+l} \\\\ & \left( A^k \right) ^l = A^{kl} \\\\ & AB = BA \ \ \rm ならば \ \ \left( \it AB \rm \right) \it ^k \rm = \it A ^k B ^k \end{align}\] なお、\( A \) が正則行列の場合、 \[ \begin{align} A^0 = E, \ \ A^{-k} = \left( A^{-1} \right) ^k \end{align}\] とおけば、上の指数法則は任意の整数 \( k \) 、\( l \) について成り立つ。

　曲線と一点を共有し、この点で曲線と同じ傾きを持った直線のこと。

　実数 \( a \) の絶対値は、\( a \) が \( 0 \) 以上なら \( a \) に等しく、\( a \) が \( 0 \) より小さいなら \( -a \) に等しい。\( a \) の絶対値を \( |a| \) で表す。

　\( 0 \) より大きな数。

　かけ算の結果のこと。文字や記号同士の積、あるいは文字や記号と数字との積においてはかけ算の記号 \( \times \) を省略することが多い。また、かけ算の記号として、\( \times \) の代わりに \( \cdot \) を使うこともある。
例： \( 2 \times a = 2a \) 、 \( x \times y = xy \) 、\( 2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6 \)

　関数 \( y = f (x) \) のグラフが \( x \) 軸、あるいは \( y \) 軸と交わる点のこと。

　成分がすべて 0 であるような \( \left( m , n \right) \) 型行列を \( \left( m , n \right) \) 型零行列と呼び、\( O_{m , \ n} \) と表す。 単に \( O \) と表すこともある。
　任意の \( \left( m , n \right) \) 型行列 \( A \) に対して、次が成り立つ。 \[ \begin{align} & A + O = A \\\\ & A - A = O \\\\ & 0A = O \\\\ & AO = O \\\\ & OA = O \end{align}\]

　ある曲線に限りなく近づいていくが、互いに交わることはない直線のこと。

　\( n \) 項列（あるいは行）ベクトル \( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) に対し、 \( c_1 , c_2 , \cdots , c_k \) を任意定数として、 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k \end{align}\] の形の列（あるいは行）ベクトルを \( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) の線形結合と呼ぶ。 また、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) についての式 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k = O \end{align}\] を線形関係と呼ぶ。\( c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0 \) としたとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) がどんな列（あるいは行）ベクトルであっても線形関係は成り立ち、これを自明な線形関係と呼ぶ。

　\( n \) 項列（あるいは行）ベクトル \( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) に自明でない線形関係があるとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) は線形従属であると言い、 自明でない線形関係が存在しないとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) は線形独立であると言う。

　2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) が点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能とは、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、点 \( \alpha \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\} \end{align}\] において、\( f \left( x,y \right) \) が次のように書けることである。 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) = f \left( a,b \right) + (x-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) + (y-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \end{align}\] ここで、\( C \left( x,y \right) \) は \( U \left( \alpha , \delta \right) \) において定義され、\( \left( a,b \right) \) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす 2 変数関数である。 また、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \end{align}\] である。

　直線上の二点 \( A \) と \( B \) の間にある点全体と二点 \( A \) および \( B \) を合わせたもの。二点 \( A \) と \( B \) をこの線分の端点と呼ぶ。

　二次曲線の一種。双曲線の中心座標を \( (x_m , y_m ) \) とし、双曲線が \( x \) 軸と交点を持つならば、次の式で表される。 \[ \frac{ \left( x - x_m \right) ^2 }{a^2} - \frac{\left( y - y_m \right) ^2 }{b^2} = 1 \ \ (a \gt 0, b \gt 0 )\] 一方、双曲線が \( y \) 軸と交点を持つならば、次の式で表される。 \[ \frac{ \left( x - x_m \right) ^2 }{a^2} - \frac{\left( y - y_m \right) ^2 }{b^2} = -1 \ \ (a \gt 0, b \gt 0 )\] 双曲線は漸近線を持ち、それは \[ y = \pm \frac{b}{a} x \] である。

　\( n \lt m \) とする。数列 \( \left\{ a_k \right\} \) を \( a_n \) から \( a_m \) まで掛け合わせたものを \[ \prod _{k=n} ^m a_k\] と表す。すなわち、 \[ \prod _{k=n} ^m a_k = a_n \times a_{n+1} \times \cdots \times a_{m-1} \times a_m \] である。

　\( x = x(t) \) 、\( y = y(t) \) について二つの微分方程式、 \[ \begin{align} \frac{dx}{dt} &= F(x,y) \\\\ \frac{dy}{dt} &= G(x,y) \end{align}\] が成り立つとする。このとき、\( t \) を変数として \( xy \) 平面上に書かれる解曲線を軌道と呼び、この \( xy \) 平面を相平面と呼ぶ。また、 \[ F(x,y) = G(x,y) = 0 \] となる点 \( \left( x_0 , y_0 \right) \) を平衡点と呼ぶ。

　\( n \lt m \) とする。数列 \( \left\{ a_k \right\} \) を \( a_n \) から \( a_m \) まで足し合わせたものを \[ \sum _{k=n} ^m a_k\] と表す。すなわち、 \[ \sum _{k=n} ^m a_k = a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{m-1} + a_m \] である。

　\( n \) 次正方行列 \( A \) について、\( P^{-1} A P \) が対角行列になるような正則行列 \( P \) が存在するとき、\( A \) は対角化可能であると言う。

　\( n \) 次正方行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) において、\( a_{ii} \ \ \left( i = 1,2, \ldots , n \right) \) を対角成分と呼ぶ。 対角成分以外がすべて 0 であるような行列を対角行列と呼ぶ。すなわち、対角行列は次の形をしている。 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \end{align}\]

　底を \( a \) とする \( b \) の対数とは、\( a^n = b \) を満たす指数 \( n \) の値であり、\[ \log _{a} b = n \]と表す。\( b \) を真数と呼ぶ。ただし、\( a \) は \( 1 \) を除く正の実数、\( b \) は正の実数とする。底が \( 10 \) の対数を常用対数と呼び、底がネイピア数 \( e = 2.71828 \ldots \) の対数を自然対数と呼ぶ。常用対数を \( \log b \) 、自然対数を \( \ln b \) と略記することがある。
　\( a \gt 0 \) 、\( a \neq 1 \) 、\( p \gt 0 \) 、\( q \gt 0 \) 、\( r \) を実数として、次の対数法則が成り立つ。 \[ \begin{align} &[1]\ \log _{a} pq = \log _{a} p + \log _{a} q \\ &[2]\ \log _{a} \frac{1}{q} = - \log _{a} q \\ &[3]\ \log _{a} \frac{p}{q} = \log _{a} p - \log _{a} q \\ &[4]\ \log _{a} q^r = r \log _{a} q \\ \end{align} \]
対数関数
　\( a \gt 0 \) 、\( a \neq 1 \)、\( x \gt 0 \) とする。関数 \[ y = \log _a x\] を \( a \) を底とする対数関数と呼ぶ。

　確率空間 \( \left( \Omega , \mathcal P \rm \left( \Omega \right) , \it P \rm \right) \) のある確率変数を \( X \) とする。\( X \) と同一の確率分布に従う \( \left( \Omega , \mathcal P \rm \left( \Omega \right) , \it P \rm \right) \) の \( n \) 個の確率変数 \( X_1 , \ X_2 , \ldots , \ X_n \) の積における確率変数 \[ Y_n = \frac{X_1}{n} + \frac{X_2}{n} + \cdots + \frac{X_n}{n}\] について、任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対して、 \[ \lim _{n \to \infty} P \left( \left| Y_n - E(X) \right| \geq \epsilon \right) = 0 \] が成り立つ。これを大数の弱法則と呼ぶ。

　関数 \( y = f(x) \) の両辺の自然対数を取ってから微分する手法のこと。 \[ \frac{d}{dx} \left( \ln y \right) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \] という関係が成り立つことを利用している。

　ある文字、あるいは記号の値をある文字や記号、あるいは数で置き換えること。
例１： \( y = 2 x \) に \( x = 3 \) を代入すると、\( y = 2 \times 3 = 6 \) となる。
例２： \( b = 2 a \) に \( a = 5 c \) を代入すると、\( b = 2 \times 5 c = 10 c \) となる。

　二次曲線の一種。楕円の中心座標を \( (x_m , y_m ) \) とし、軸が \( xy \) 座標軸に平行であれば、楕円の式は以下となる。 \[ \frac{\left( x - x_m \right) ^2 }{a^2} + \frac{\left( y - y_m \right) ^2 }{b^2} = 1 \ \ (a \gt 0, b \gt 0) \]

　ある一種類の変数の値が、他の変数の値、定数の値および数に応じて複数個定まるという関係のこと。

[1] 複数の項の和と積からなる式のこと。

[2] 複素数全体の集合を \( \mathbb C \) と表す。1 つの文字 \( x \) と、\( \mathbb C \) の元 \( a_0 , a_1 , \cdots , a_n \) により作られる次の式を、文字 \( x \) の \( \mathbb C \) -係数多項式と呼ぶ。 \[ \sum _{i=0} ^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \]

　\( n \) を自然数とする。次式を多項定理と呼ぶ。 \[ \left( a_1 + a_2 + \cdots + a_m \right) ^n = \sum _{p_i} \frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_m!} a_1 ^{n_1} a_2 ^{n_2} \cdots a_m ^{n_m} \] ただし、\( p_i \) は、\( n_1 \geq 0 \) 、\( n_2 \geq 0 \) 、…、\( n_m \geq 0 \) 、\( \sum _{k=1} ^n n_k = n \) であるような整数の組 \( \left( n_1, n_2, \cdots ,n_m \right) \) を表し、右辺の和はそのようなすべての組 \( p_i \) にわたる。 多項定理の各項の係数を多項係数と呼ぶ。

　二つ以上の独立変数を持つ関数を多変数関数と呼ぶ。

　\( n \) を自然数とする。\( n \) 変数関数 \( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) について、 任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対し、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、 \[ \sqrt{\left( x_1 - a_1 \right)^2 + \left( x_2 - a_2 \right)^2 + \cdots + \left( x_n - a_n \right)^2} \lt \delta \] となるすべての点 \( ( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) に対し、 \[ \begin{align} \left| f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) - b \right| \lt \epsilon \end{align}\] が成り立つとき、これを \[ \lim _{( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n )} f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = b \] と表し、\( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) は \( ( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \) のときに \( b \) に収束するという。このとき、\( b \) を極限値と呼ぶ。

\[ \lim _{( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n )} f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = f (a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \] が成り立つとき、関数 \( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) は \( (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = (a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \) で連続であるという。 定義域の各点で連続な関数を連続関数と呼ぶ。

　\( n \) 次正方行列において、対角成分がすべて 1 で他の成分はすべて 0 であるものを \( n \) 次単位行列と呼び、\( E_n \) あるいは単に \( E \) で表す。 すなわち、 \[ \begin{align} E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right) \end{align}\] である。
　任意の \( m, n \) 型行列 \( A \) に対し、次が成り立つ。 \[ \begin{align} & A E_n = A \\\\ & E_m A = A \end{align}\] 　単位行列 \( E_n \) の \( n \) 個の列ベクトル \[ \begin{align} \boldsymbol e_1 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) , \ \boldsymbol e_2 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) , \ \ldots \ , \ \boldsymbol e_n \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \end{align}\] を \( n \) 項単位ベクトルと呼ぶ。

　\( 1,2, \ldots , n \) を並べ替える操作を置換と呼ぶ。\( n \) 文字の置換は全部で \( n! \) 個ある。

　 \( n \) 文字の置換 \( \sigma \) によって、\( i \) 番目の文字が \( j \) 番目に移されるとき、これを \[ \begin{align} \sigma \left( i \right) = j \end{align}\] と表す。また、 \[ \begin{align} \sigma \left( 1 \right) = i_1 , \ \ \sigma \left( 2 \right) = i_2 , \ \ldots \ , \ \ \sigma \left( n \right) = i_n \end{align}\] であるとき、 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ \end{array} \right) \end{align}\] と表す。

　どの文字も動かさない \( n \) 文字の置換 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ 1 & 2 & \ldots & n \\ \end{array} \right) \end{align}\] を恒等置換あるいは単位置換と呼び、\( 1_n \) と表す。

　置換 \( \sigma \) の逆操作を \( \sigma \) の逆置換と呼び、\( \sigma ^{-1}\) と表す。すなわち、 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ \end{array} \right) \end{align}\] ならば、 \[ \begin{align} \sigma ^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ 1 & 2 & \ldots & n \\ \end{array} \right) \end{align}\] となる。

　2 つの置換 \( \sigma \) と \( \tau \) を続けて行う操作を \( \sigma \) 、\( \tau \) の積と呼び、\( \tau \sigma \) と表す。すなわち、 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ \end{array} \right) , \ \ \ \tau = \left( \begin{array}{cccc} i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ j_1 & j_2 & \ldots & j_n \\ \end{array} \right) \end{align}\] ならば、 \[ \begin{align} \tau \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ j_1 & j_2 & \ldots & j_n \\ \end{array} \right) \end{align}\] である。

　\( n \) 文字の置換で、2 つの文字のみを並べ替えるものを互換と呼ぶ。 置換 \( \sigma \) が偶数個の互換の積で表されるとき、これを偶置換と呼ぶ。 他方、置換 \( \sigma \) が奇数個の互換の積で表されるとき、これを奇置換と呼ぶ。 また、記号 \( \rm sgn \ \it \sigma \) を置換 \( \sigma \) の符号と呼び、\( \sigma \) が偶置換のときは \( \rm sgn \ \it \sigma \rm = 1 \) 、奇置換のときは \( \rm sgn \ \it \sigma \rm = -1 \) とする。

[1] 関数 \[ y = ax + b \ \ (a,b \ は定数) \]のこと。一次関数とも呼ばれる。\( a \) は直線の傾き、あるいは変化の割合と呼ばれる。\( b \) は \( y \) 切片という。

[2] 太さを持たない、無限に真っすぐ伸びた線のこと。直線は、それが通る二点を決めれば、ただ一つに定まる。

　内角の一つが直角である三角形のこと。直角に対する辺は斜辺と呼ばれる。

　ある文字、あるいは記号の値を固定されたものとして取り扱うとき、その文字、あるいは記号を定数と言う。

　関数 \( f(x) \) の原始関数の1つを \( F(x) \) とする。このとき、\( F(b) - F(a) \) を \( f(x) \) の \( a \) から \( b \) までの定積分と呼び、 \[ \int ^b _a f(x) dx \] と表す。ここで、\( a \) をこの定積分の下端、\( b \) を上端と呼ぶ。また、\( F(b) - F(a) \) を \( \left[ F(x) \right] ^b _a \) と表す。
　定積分について、以下の公式が成り立つ。 \[ \frac{d}{dx} \int ^x _a f(t)dt = f(x) \ \ \left( a \ \rm は定数 \it \right) \] \[ \int ^b _a c f(x)dx = c \int ^b _a f(x)dx \ \ \left( c \ \rm は定数 \it \right) \] \[ \int ^b _a \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} dx = \int ^b _a f(x)dx \pm \int ^b _a g(x)dx \] \[ \int ^a _a f(x)dx = 0\] \[ \int ^b _a f(x)dx = - \int ^a _b f(x)dx\] \[ \int ^b _a f(x)dx = \int ^c _a f(x)dx + \int ^b _c f(x)dx\] 置換積分
　\( x = g(u) \) が微分可能で、\( a = g \left( \alpha \right) \) 、\( b = g \left( \beta \right) \) ならば次の式が成り立つ。 \[ \begin{align} \int _a ^b f(x) dx = \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( g \left( u \right) \right) g'(u) du \end{align}\] 部分積分
　\( f(x) \) 、\( g(x) \) がともに微分可能ならば次の式が成り立つ。 \[ \begin{align} \int _a ^b f(x) g'(x) dx = \left[f(x)g(x) \right] ^b _a - \int _a ^b f'(x) g(x) dx \end{align}\] 定積分と面積
　実区間 \( \left[ a,b \right] \) で \( f(x) \geq g(x) \) とする。このとき、2曲線 \( y = f(x) \) 、\( y = g(x) \) および2直線 \( x = a \) 、\( x=b \) で囲まれた部分の面積を \( S \) とすると、 \[ S = \int ^b _a \left\{ f(x) - g(x) \right\} dx\] が成り立つ。

　\( f(x) \) は \( \left[ a,b \right] \)（あるいは \( \left[ b,a \right] \) ）で \( C^{n-1} \) - 関数であり、\( \left( a,b \right) \)（あるいは \( \left( b,a \right) \) ）で \( n \) 回微分可能とする。 このとき、 \[ \begin{align} f(b) = \sum _{k=0} ^{n-1} \frac{f^{\left( k \right)} (a)}{k!} \left( b-a \right)^{k} + \frac{f^{\left( n \right)} (c)}{n!} \left( b-a \right)^n \end{align}\] を満たす \( c \)（ \( a \lt c \lt b \)（あるいは \( b \lt c \lt a \) ））が存在する。

[1] 変数を含む数式において、変数が取り得る値の一つのこと。

[2] \( xy \) 座標平面における座標のこと。

[3] 平面上における幾何学的図形としての点。

　\( \left( m , n \right) \) 型行列 \( A \) の行と列を逆にした \( \left( n , m \right) \) 型行列を \( A \) の転置行列と呼び、\( ^t A \) で表す。 すなわち、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] ならば、 \[ \begin{align} ^t A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] である。
　転置行列について、次が成り立つ。 \[ \begin{align} & ^t \left( ^t A \right) = A \\\\ & ^t \left( A ^ * \right) = \left( ^t A \right) ^* \\\\ & ^t \left( A + B \right) = {}^tA + {}^tB \\\\ & ^t \left( cA \right) = c \ {}^t A \\\\ & ^t \left( A B \right) = {}^t B \ {}^t A \end{align}\]

　関数 \( y = f (x) \) がある実区間内のすべての点 \( x \) において微分可能なとき、\( x \) に対してその微分係数 \( f ' (x) \) を対応させる関数を \( y = f (x) \) の導関数と言い、\( y' \) 、\( f ' (x) \) 、\( \frac{dy}{dx} \) 、\( \frac{df}{dx} \) 、\( \frac{d}{dx} f (x) \) などと表す。\( y = f(x) \) から、その導関数 \( y = f'(x) \) を求めることを「微分する」と呼ぶ。
　微分について、いくつかの公式が成り立つ。

[定数倍と和、差の微分公式]
　関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) がある実区間 \( I \) において微分可能なとき、\( c \) を実数定数として、\( cf(x) \) と \( f(x) \pm g(x) \) も \( I \) で微分可能であり、次式が成り立つ。 \[ \left\{ cf(x) \right\} ' = c f'(x) \] \[ \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} ' = f'(x) \pm g'(x)\]
[積と商の微分公式]
　関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) がある実区間 \( I \) において微分可能なとき、\( f(x)g(x) \) 、\( \frac{f(x)}{g(x)} \)（ただし、\( g(x) \neq 0 \) ）も \( I \) で微分可能であり、次式が成り立つ。 \[ \left\{ f(x)g(x) \right\} ' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \] \[ \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\} ^2 } \]
[合成関数の微分公式]
　関数 \( u = f(x) \) は実区間 \( I \) において微分可能、関数 \( y = g(u) \) は実区間 \( J \) において微分可能とし、\( u = f(x) \) の値域は \( J \) に含まれるとする。このとき、合成関数 \( y = g(f(x)) \) は実区間 \( I \) において微分可能で、次の式が成り立つ。 \[ y' = g'(u)f'(x) \]
[逆関数の微分公式]
　関数 \( y = f(x) \) は実区間 \( I \) において単調増加（または減少）関数であり、\( I \) において微分可能とする。 このとき、逆関数 \( x = f^{-1} (y) \) は \( f'(x) \neq 0 \) となる \( x \) に対応する \( y \) で微分可能であり、次の式が成り立つ。 \[ x' = \frac{1}{y'} \]
　代表的な関数の微分を以下に示す。

\[ \begin{align} &\left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \ \ ( n \ \rm{は} \rm{整数、} \it{x} \ \rm{は実数} ) \\\\ &\left( x^a \right) ' = a x^{a-1} \ \ ( a \ \rm{は} \rm{実数、} \it{x} \ \rm{は正の実数} ) \end{align} \]
三角関数 \[ \begin{align} &\left( \sin x \right) ' = \cos x \ \ (x \ \rm は実数) \\\\ &\left( \cos x \right) ' = - \sin x \ \ (x \ \rm は実数) \\\\ &\left( \tan x \right) ' = \frac{1}{\cos ^2 x} \ \ (x \ \rm は \ \it n \ \rm を整数として、\frac{(2 \it n \rm -1) \pi}{2} \ を除く実数) \end{align} \]
指数関数、対数関数 \[ \begin{align} &\left( e^x \right) ' = e^x \ \ ( x \ \rm{は実数} ) \\\\ &\left( a^x \right) ' = a^x \ln a \ \ ( x \ \rm{は実数、} \ \it{a} \ \rm{は正の実数} ) \\\\ &\left( \ln x \right) ' = \frac{1}{x} \ \ ( x \rm \gt 0 ) \end{align} \]
逆三角関数 \[ \begin{align} &\left( \sin ^{-1} x \right) ' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\ &\left( \cos ^{-1} x \right) ' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\ &\left( \tan ^{-1} x \right) ' = \frac{1}{1 + x^2} \ \ ( - \infty \lt x \lt \infty ) \end{align} \]

　\( n \) を自然数として、関数 \( y = f(x) \) の \( \boldsymbol n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right)} (x) \) を次のように定義する。
[1] \( f^{\left( 1 \right) } (x) = f'(x) \)
[2] \( f^{\left( n \right) } (x) = \left\{ f^{\left( n - 1 \right) } (x) \right\} ' \)
\( n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right)} (x) \) を表す他の記号に、\( y^{\left( n \right)} \) 、\( \frac{d^n y}{dx^n} \) 、\( \frac{d^n}{dx^n} f(x) \) がある。

　関数 \( y = f(x) \) の \( n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right) } (x) \) が存在するとき、\( f(x) \) は \( \boldsymbol n \) 回微分可能であるという。 さらに、\( f^{\left( n \right) } (x) \) が連続であるとき、\( f(x) \) を \( \boldsymbol n \) 回連続微分可能な関数、または \( \boldsymbol C^n \) - 関数と呼ぶ。 また、任意の自然数 \( m \) に対して、\( m \) 次導関数 \( f^{\left( m \right) } (x) \) が存在するとき、\( f(x) \) を \( \boldsymbol C^{\infty} \) - 関数と呼ぶ。

　\( n \) を整数、\( \theta \) を実数、\( i \) を虚数単位として、 \[ \cos n \theta + i \sin n \theta = \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n \] が成り立つ。これをド・モアブルの定理という。

　\( \boldsymbol x \) 、\( \boldsymbol y \) が \( n \) 項列ベクトルであり、 \[ \begin{align} \boldsymbol x \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) , \ \ \ \ \boldsymbol y \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right) \end{align}\] と表されているとき、次式で定義される \( \left( \boldsymbol x, \boldsymbol y \right) \) を \( \boldsymbol x \) と \( \boldsymbol y \) との内積と呼ぶ。 \[ \begin{align} \left( \boldsymbol x, \boldsymbol y \right) = \sum _{i=1} ^n x_i y_i ^* \end{align}\] 　内積について、共軛線型性と呼ばれる次の性質が成り立つ。 \[ \begin{align} & \left( \boldsymbol x_1 + \boldsymbol x_2 , \boldsymbol y \right) = \left( \boldsymbol x_1 , \boldsymbol y \right) + \left( \boldsymbol x_2 , \boldsymbol y \right) \\\\ & \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y_1 + \boldsymbol y_2 \right) = \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y_1 \right) + \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y_2 \right) \\\\ & \left( c \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) = c \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) \\\\ & \left( \boldsymbol x , c \boldsymbol y \right) = c^* \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) \\\\ & \left( \boldsymbol y , \boldsymbol x \right) = \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) ^* \end{align}\] 　ここで、\( \boldsymbol x \) 、\( \boldsymbol x_1 \) 、\( \boldsymbol x_2 \) 、\( \boldsymbol y \) 、\( \boldsymbol y_1 \) 、\( \boldsymbol y_2 \) はいずれも \( n \) 項列ベクトルであり、\( c \) は複素数である。

　同一の \( n \) 項列ベクトル同士の内積 \( \left( \boldsymbol x , \boldsymbol x \right) \) は 0 または正の実数であり、 \( \left( \boldsymbol x , \boldsymbol x \right) = 0 \) となるのは、\( \boldsymbol x \) の成分がすべて 0 である場合に限る。 これを、内積の正値性と呼ぶ。

　\( \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) = 0 \) のとき、\( \boldsymbol x \) と \( \boldsymbol y \) は直交するという。

　\( n \) を自然数とする。次式を二項定理と呼ぶ。 \[ \left( a + b \right) ^n = \sum _{k=0} ^{n} {}_{n} \rm C \it _{k} a^{n-k} b^{k} \] 二項定理の各項の係数を二項係数と呼ぶ。

　\( A \)、 \( B \)、 \( C \)、 \( D \)、 \( E \)、\( F \) を定数とする。 ただし、\( A \)、 \( B \)、\( C \) は同時に 0 にはならないとする。このとき、 \[ A x^2 + B y^2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 \] を満たす \( xy \) 座標平面上の \( x \) と \( y \) の組からなる点 \( (x,y) \) の全体を二次曲線と呼ぶ。円錐曲線とも呼ばれる。
　二次曲線は放物線、楕円、双曲線の三種類に大きく分けられる。

　\( a \gt 0 \) 、\( b \gt 0 \) とする。関数、 \[ f(x) = a^{b^x} \] を二重指数関数と呼ぶ。

　一変数関数 \( f(x) \) について、\( f(x) = 0 \) となる \( x \) を近似的に求める方法の一つ。次の手順からなる。

[1] \( f(a_0)f(b_0) \lt 0 , f(a_0) \gt 0 \) を満たす適当な初期値 \( a_0 , b_0 \) を与える。

[2] \( f \left( \frac{a_0 + b_0}{2} \right) \gt 0 \) ならば \( a_1 = \frac{a_0 + b_0}{2} , \ b_1 = b_0 \) とし、\( f \left( \frac{a_0 + b_0}{2} \right) \lt 0 \) ならば \( a_1 = a_0 , \ b_1 = \frac{a_0 + b_0}{2} \) とする。

[3] 以後同様に、\( a_k , b_k \ \ (k = 1, 2, 3, \ldots ) \) を用いて \( a_{k+1} , b_{k+1} \) を求める操作を繰り返す。すると、 \[ \lim _{k \to \infty} f \left( \frac{a_k + b_k }{2} \right) = 0 \]となる。

　実数全体において微分可能な一変数関数 \( f(x) \) について、\( f(x) = 0 \) となる \( x \) を近似的に求める方法の一つ。次の手順からなる。

[1] \( f(x_0) \neq 0 \) を満たす適当な初期値 \( x_0 \) を与える。

[2] 次式を用いて、\( x_k \ \ \left( k = 1,2,3, \ldots \right) \) を順次求めていく。 \[ x_{k} = x_{k-1} - \frac{f \left( x_{k-1} \right) }{f' \left( x_{k-1} \right) } \]
[3] 初期値の選び方によっては、 \[ \lim _{k \to \infty} f \left( x_k \right) = 0 \] となる。ただし、初期値の選び方によっては、この式が成り立たないこともある。

　\( x = 0 \) における接線の傾き（微分係数）が \( 1 \) になる指数関数を\[ y = e^x \]と表し、\( e \) をネイピア数と呼ぶ。
　ネイピア数について、次の極限公式が成り立つ。 \[ \lim _{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] \[ \lim _{x \to 0} \left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}} = e \]

　\( \boldsymbol x \) を \( n \) 項列ベクトルとする。 内積 \( \left( \boldsymbol x , \boldsymbol x \right) \) の負でない平方根を \( \boldsymbol x \) の長さあるいはノルムと呼び、\( \| \boldsymbol{x} \| \) で表す。 \[ \begin{align} \| \boldsymbol{x} \| &= \sqrt{\left( \boldsymbol x , \boldsymbol x \right)} \\\\ &= \sqrt{\left| x_1 \right| ^2 + \left| x_2 \right| ^2 + \cdots + \left| x_n \right| ^2} \end{align}\] ノルムについて、次の不等式が成り立つ。 \[ \begin{align} & \left| \left( \boldsymbol x , \boldsymbol y \right) \right| \leq \| \boldsymbol{x} \| \| \boldsymbol{y} \| \ \ \ \left( \rm シュヴァルツの不等式 \right) \\\\ & \| \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \| \leq \| \boldsymbol{x} \| + \| \boldsymbol{y} \| \ \ \ \left( \rm 三角不等式 \right) \end{align}\]

　変数 \( y \) が変数 \( x \) の関数であり、かつ、ある定数 \( a \neq 0 \) を用いて、 \[ y = \frac{a}{x} \] と表されるとき、\( y \) は \( x \) に反比例すると言う。

　二つの数 \( a \) と \( b \) があるとき、 \( a : b = a \div b = \frac{a}{b} \) を \( a \) と \( b \) の比という。

[1] 直角三角形の斜辺の長さを \( c \) 、残りの二辺の長さをそれぞれ \( a \) 、\( b \) とおくと、次式が成り立つ。 \[ c^2 = a^2 + b^2 \] これをピタゴラスの定理、あるいは三平方の定理と呼ぶ。

[2] \( \boldsymbol x \) 、\( \boldsymbol y \) が \( n \) 項列ベクトルであり、\( \boldsymbol x \) と \( \boldsymbol y \) は直交しているとする。 このとき、次式が成り立つ。 \[ \| \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \| ^2 = \| \boldsymbol{x} \| ^2 + \| \boldsymbol{y} \| ^2 \] これをピタゴラスの定理と呼ぶ。

　定義域が \( x = a \) を含む実区間である一変数関数 \( y = f(x) \) について、\[ \lim _{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]が存在するならば、\( f(x) \) は \( x = a \) で微分可能であると言い、この極限値を微分係数と呼び \( f ' (a) \) で表す。\( f(x) \) の \( x = a \) における微分係数は、\( f(x) \) の \( x = a \) における接線の傾きに等しい。
　一変数関数 \( y = f(x) \) が \( a \) を含む実区間で微分可能とする。このとき、 \[ f'(a) \gt 0 \rm \ ならば、\it f \rm ( \it x \rm ) \ は \ \it x \rm = \it a \rm \ で増加傾向 \] \[ f'(a) \lt 0 \rm \ ならば、\it f \rm ( \it x \rm ) \ は \ \it x \rm = \it a \rm \ で減少傾向 \] である。

　未知関数の(偏)導関数を含む方程式のこと。未知関数が一変数関数の場合の微分方程式を常微分方程式と呼び、2変数以上の未知関数の場合を偏微分方程式と呼ぶ。微分方程式をみたす関数を微分方程式の解と呼ぶ。任意関数を含む解を一般解と呼び、任意関数を特別に定めたものを特解と呼ぶ。
　微分方程式に含まれる(偏)導関数の最高次数が \( n \) 次(偏)導関数であるとき、それを \( n \) 階の微分方程式という。
　未知関数およびその(偏)導関数を独立変数 \( \mathfrak D \) とする一次関数の形からなる項 \[ a \mathfrak D \rm + \it b \] を考える。ここで \( a \) および \( b \) は任意の既知関数とする。 このような項のみを含む微分方程式を線形といい、線形でないものを非線形という。
　すべての項が未知関数およびその(偏)導関数を含むか 0 である微分方程式を同次といい、そうでないものを非同次という。

　変数 \( y \) が変数 \( x \) の関数であり、かつ、ある定数 \( a \neq 0 \) を用いて、 \( y = ax \) と表されるとき、\( y \) は \( x \) に比例すると言い、\( a \) を比例定数、あるいは変化の割合と呼ぶ。
例：多くのアルバイト店員にとっては、給料は就業時間に比例し、比例定数は時給である。

　一変数関数 \( f (x) \) が次の (i)、(ii) の条件を満たすとする。

(i) \( f (x) \) は周期 \( 2L \) の周期関数

(ii) \( f (x) \) と \( f' (x) \) は実区間 \( (-L,L) \) で区分的に連続

このとき、 \[ \begin{align} a_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 0,1,2, \ldots \right) \\\\ b_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 1,2, \ldots \right) \end{align}\] として、 \[ \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \ \ \ \ldots (*)\] は、

(a) \( x \) が連続点のとき \( f(x) \)

(b) \( x \) が不連続点のとき \( \left\{ f(x+0) + f(x-0) \right\} / 2 \)

に収束する。\( a_n \) と \( b_n \) をフーリエ係数と呼び、\( (*) \) を \( f(x) \) に対するフーリエ級数と呼ぶ。

フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数
　周期 \( 2L \) をもつ偶関数 \( f(x) \) に対するフーリエ級数は、 \[ \begin{align} & \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} a_n \cos \frac{n \pi x}{L} \\\\ & a_n = \frac{2}{L} \int ^L _{0} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 0,1,2, \ldots \right) \end{align}\] となる。これをフーリエ余弦（コサイン）級数という。一方、周期 \( 2L \) をもつ奇関数 \( f(x) \) に対するフーリエ級数は、 \[ \begin{align} & \sum ^{\infty} _{n=1} b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \\\\ & b_n = \frac{2}{L} \int ^L _{0} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 1,2, \ldots \right) \end{align}\] となる。これをフーリエ正弦（サイン）級数という。

半区間での展開
　実区間 \( \left[0,L \right] \) で定義された一変数関数 \( f(x) \) を周期 \( 2L \) の偶関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ余弦級数で与えられる。 これを半区間でのフーリエ余弦級数という。一方、奇関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ正弦級数で与えられる。 これを半区間でのフーリエ正弦級数という。

複素数による表示
　複素数を用いた三角関数の指数関数による表示を用いると、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、 \[ \begin{align} \sum ^{\infty} _{n = - \infty} c_n e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) } \end{align}\] と表され、フーリエ係数は、 \[ \begin{align} c_n = \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f(x) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx \end{align}\] と表される。

2重フーリエ級数
　\( L_1 \) と \( L_2 \) を任意の正の定数とする。2変数関数 \( f \left( x, y \right) \) は任意の \( x \) および \( y \) について、 \[ \begin{align} f \left( x + 2L_1, y \right) = f \left( x, y + 2L_2 \right) = f \left( x, y \right) \end{align}\] を満たすとする。このとき、\( f \left( x, y \right) \) に対する2重フーリエ級数を次式で定義する。 \[ \begin{align} \sum _{m = - \infty} ^{\infty} \sum _{n = - \infty} ^{\infty} c_{nm} e^{i \left( \frac{n \pi x}{L_1} + \frac{m \pi y}{L_2} \right)} \end{align}\] また、2重フーリエ係数 \( c_{nm} \) は次式で定義する。 \[ \begin{align} c_{nm} = \frac{1}{4 L_{1} L_{2}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{ \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y \right) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L_1} + \frac{m \pi y}{L_2} \right)} dy \right\} dx \end{align}\]

多重フーリエ級数
　\( L_1 , L_2 , \ldots , L_N \) を任意の正の定数とする。\( N \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) \) は任意の \( x_1, x_2 , \ldots , x_N \) について、 \[ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ f \left( x_1 + 2L_1, x_2 , \ldots , x_N \right) \\\\ &= f \left( x_1, x_2 + 2L_2 , \ldots , x_N \right) \\\\ & \ \ \cdots \cdots \cdots \\\\ &= f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N + 2L_N \right) = f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) \end{align}\] を満たすとする。このとき、\( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) \) に対する \( n \) 重フーリエ級数を次式で定義する。 \[ \begin{align} \sum _{n_N = - \infty} ^{\infty} \cdots \sum _{n_2 = - \infty} ^{\infty} \sum _{n_1 = - \infty} ^{\infty} c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} e^{i \sum _{i=1} ^N \frac{n_i \pi x_i}{L_i}} \end{align}\] また、\( n \) 重フーリエ係数 \( c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} \) は次式で定義する。 \[ \begin{align} c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} = \frac{1}{2^N L_{1} L_{2} \cdots L_{N}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{ \int ^{L_2} _{-L_2} \left\{ \cdots \left\{ \int ^{L_N} _{-L_N} f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) e^{-i \sum _{i=1} ^N \frac{n_i \pi x_i}{L_i}} dx_{N} \right\} \cdots \right\} dx_2 \right\} dx_1 \end{align}\]

　時刻 \( t \) を変数に持つ偏微分方程式の数値解を、ある差分法の手法により求めるとする。 このとき、時間発展につれて丸め誤差が限りなく増大する場合、その手法は不安定と呼ばれる。 Von Neumann の安定性解析は、定数係数線形偏微分方程式を差分法により数値的に解く際に、差分法の手法が不安定となる条件を丸め誤差のフーリエ級数を用いて与える手法である。

　複素平面における領域 \( D \) の各点 \( z \) に、複素数 \( w \) を対応させる関数 \[ \begin{align} w = f(z) \ \ \left( z \in D \right) \end{align}\] を、\( D \) 上の複素関数と呼ぶ。


複素関数の具体例
　以下では、\( x \) 、\( y \) を実数とし、\( i \) を虚数単位とする。 また、\( z = x + iy \) とし、\( z \) を独立変数とする複素関数を考える。 なお、特別に記していない限り、定義域は \( z \in \mathbb C \) とする。

一次分数関数 \( T (z) \) \[ \begin{align} T (z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad \left( ad - bc \neq 0 \quad \text{かつ} \quad cz + d \neq 0 \right) \end{align}\] 複素指数関数 \( e^z \) \[ \begin{align} e^z = e^x \left( \cos y + i \sin y \right) \end{align}\] 三角関数 \( \cos z \) 、\( \sin z \) \[ \begin{align} \cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\\\ \sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \end{align}\] 対数関数 \( \log z \) \[ \begin{align} \log z = \ln |z| + i \arg z \quad \left( z \neq 0 , \quad - \pi \lt \arg z \lt \pi \right) \end{align}\] 指数関数 \( a^z \) \[ \begin{align} a^z = e^{z \cdot \log a} = e^{z \cdot \left( \ln |a| + i \arg a \right)} \quad \left( a \neq 0 , \quad - \pi \lt \arg a \lt \pi \right) \end{align}\]
極限と連続性
　\( f \left( z \right) \) を \( D \subset \mathbb C \) 上の複素関数とする。 \( a \in D \) において、任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対して、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、 \[ \begin{align} \left| z - a \right| \lt \delta \quad \text{ならば} \quad \left| f \left( z \right) - b \right| \lt \epsilon \end{align}\] であるとき、\( b \) を \( z \to a \) のときの \( f \left( z \right) \) の極限値と呼び、 \[ \begin{align} \lim _{z \to a} f \left( z \right) = b \quad \text{あるいは、} \quad f \left( z \right) \to b \ \left( z \to a \right) \end{align}\] と表す。また、\( b = f \left( a \right) \) であれば、\( f \left( z \right) \) は \( a \) で連続であると言う。 \( f \left( z \right) \) が \( D \) の各点で連続であるとき、\( f \left( z \right) \) は \( D \) で連続であると言う。


複素微分
　\( f \left( z \right) \) を領域 \( D \neq \varnothing \) で定義された複素関数とする。 \( a \in D \) について、極限値 \[ \begin{align} \lim _{z \to a} \frac{f \left( z \right) - f \left( a \right)}{z-a} \end{align}\] が存在するとき、\( f \left( z \right) \) は \( z = a \) で複素微分可能、あるいは単に微分可能であるといい、 この極限値を \( z = a \) における \( f \left( z \right) \) の微分係数と呼び、\( f' \left( z \right) \) で表す。

　領域 \( D \neq \varnothing \) で定義された複素関数 \( w = f \left( z \right) \) が \( D \) の各点で複素微分可能であるとき、\( D \) の各点 \( z \) に、そこでの微分係数 \( f ' \left( z \right) \) を対応させる関数を \( f \left( z \right) \) の導関数と呼び、 \[ \begin{align} w' , \ f '\left( z \right), \ \frac{dw}{dz}, \ \frac{df}{dz} \end{align}\] などと表す。
　\( f \left( z \right) \) が領域 \( D \) の各点で複素微分可能であり、かつ、導関数 \( f ' \left( z \right) \) が \( D \) で連続であるとき、\( f \left( z \right) \) は \( D \) で正則であると言う。

　行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) の各成分を共軛複素数で置き換えた行列 \( \left( a_{ij} ^* \right) \) を \( A \) の複素共軛行列と呼び、\( A^* \) で表す。 複素共軛行列について、以下が成り立つ。 \[ \begin{align} & \left( A^* \right) ^* = A \\\\ & \left( A + B \right) ^* = A^* + B^* \\\\ & \left( cA \right) ^* = c^* A^* \\\\ & \left( A B \right) ^* = A^* B^* \end{align}\]

\[ i = \sqrt{-1}\] を虚数単位という。2 つの実数 \( a \) 、\( b \) と虚数単位 \( i \) を用いて \[ c = a + bi = a + ib \] という形で表される数 \( c \) を複素数という。 ここで、\( a \) を複素数 \( c \) の実部（実数部分）といい、\( b \) を複素数 \( c \) の虚部（虚数部分）という。 実部と虚部をそれぞれ、 \[ a = \rm Re \ \it c\] \[ b = \rm Im \ \it c\] と表す。実部が 0 である複素数 \[ c = ib \] を純虚数という。

　複素数の相等関係と四則演算は次で定義される。

相等関係 \[ \begin{align} &1) \ \ a + ib = 0 \ \ \rm ならば \ \ \it a \rm = 0, \it b \rm = 0 \\\\ &2) \ \ a_1 + ib_1 = a_2 + ib_2 \ \ \rm ならば \ \ \it a \rm _1 = \it a \rm _2, \it b \rm _1 = \it b \rm _2 \end{align}\] 四則演算

和 \[ \left( a + ib \right) + \left( c + id \right) = \left( a + c \right) + i \left( b + d \right) \] 差 \[ \left( a + ib \right) - \left( c + id \right) = \left( a - c \right) + i \left( b - d \right) \] 積 \[ \begin{align} \left( a + ib \right) \left( c + id \right) &= ac + iad + ibc + i^2 bd \\\\ &= \left( ac - bd \right) + i \left( ad + bc \right) \end{align}\] 商 \[ \begin{align} \frac{a + ib}{c + id} &= \frac{a + ib}{c + id} \cdot \frac{c - id}{c - id} \\\\ &= \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + i \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \end{align}\] 以上の規則から、実数と同様に、複素数に対しても、
[1] 交換法則 \[ c_1 + c_2 = c_2 + c_1\] \[ c_1 c_2 = c_2 c_1\] [2] 結合法則 \[ \left( c_1 + c_2 \right) + c_3 = c_1 + \left( c_2 + c_3 \right) \] \[ \left( c_1 c_2 \right) c_3 = c_1 \left( c_2 c_3 \right)\] [3] 分配法則 \[ c_1 \left( c_2 + c_3 \right) = c_1 c_2 + c_1 c_3 \] が成り立つ。

複素平面
　\( xy \) 座標平面上の座標が \( \left( x,y \right) \) である点と複素数 \( z = x + iy \) を対応させたものを複素平面またはガウス平面という。 複素平面において、\( x \) 軸を実軸、\( y \) 軸を虚軸という。
　複素平面において、原点 \( O \) と点 \( P \left( x,y \right) \) の距離を \( r \) 、線分 \( OP \) と \( x \) 軸の間の角を \( \theta \) とすれば、 \[ \begin{align} x &= r \cos \theta \\\\ y &= r \sin \theta \end{align}\] であるから、複素数 \( z \) は \[ z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \] と書ける。これを、\( z \) の極形式といい、\( r \) を \( z \) の絶対値、\( \theta \) を \( z \) の偏角という。 \( z \) の絶対値を \( |z| \) 、\( z \) の偏角を \( \rm arg \ \it z \) と書く。つまり、 \[ |z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \rm arg \ \it z \rm = \it \theta \] である。
　2 つの複素数 \( z_1 \) と \( z_2 \) の絶対値および偏角について、次の式が成り立つ。

和・差 \[ \begin{align} \left| z_1 \pm z_2 \right| & \leq | z_1 | + | z_2 | \ \ \ \text{（等号は} \ \ \rm arg \ \it z \rm _1 \rm = arg \ \it z \rm _2 \ \text{のときだけ成立。）} \\\\ \end{align}\] 積 \[ \begin{align} | z_1 z_2 | &= | z_1 | | z_2 | \\\\ \rm arg \ \left( \it z \rm _1 \it z \rm _2 \right) &= \rm arg \ \it z \rm _1 + arg \ \it z \rm _2 \end{align}\] 商 \[ \begin{align} \left| \frac{z_1}{z_2} \right| &= \frac{| z_1 |}{| z_2 |} \\\\ \rm arg \ \left( \frac{\it z \rm _1}{\it z \rm _2} \right) &= \rm arg \ \it z \rm _1 - arg \ \it z \rm _2 \end{align}\]
共軛複素数
　複素数 \( z = x + iy \) に対して、\( x - iy \) を \( z \) の共軛きょうやく複素数といい、\( z^* = x - iy \) と表す。 複素平面において、\( z \) と \( z^* \) は \( x \) 軸に対して線対称の位置にある。また、\( z \) と \( z^* \) との積は実数であり、\( z \) の絶対値の2乗に等しい。 \[ \begin{align} zz^* &= \left( x + iy \right) \left( x - iy \right) \\\\ &= x^2 + y^2 \\\\ &= |z|^2 \end{align}\]

　\( F (x) \) を \( f (x) \) のある原始関数とする。このとき、\[ F (x) + C \ \ (C は任意の定数) \] を \( f (x) \) の不定積分といい \[ \int f (x) dx \] と表す。また、 \( C \) を特に積分定数という。関数 \( f(x) \) の不定積分を求めることを積分すると呼ぶ。
　不定積分について、以下の公式が成り立つ。
\[ \left\{ \int f(x)dx \right\} ' = f(x) \] \[ \int f'(x)dx = f(x) + C \] \[ \int cf(x)dx = c \int f(x)dx + C \ \ \left( c \ \rm は定数 \it \right) \] \[ \int \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx + C \]
置換積分
　\( x = g(u) \) が微分可能ならば次の式が成り立つ。
\[ \int f(x)dx = \int f(g(u))g'(u)du + C \]
部分積分
　\( f(x) \) 、\( g(x) \) がともに微分可能なら、次の式が成り立つ。
\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx + C \]

　代表的な関数の不定積分を以下に示す。

\[ \begin{align} \ \ \ &\int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \ \ ( n \ \rm{は} -1 \rm{を除く整数、} \it{x} \ \rm{は実数} ) \\\\ &\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C \ \ ( x \rm \gt 0 ) \\\\ &\int x^{a} dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C \ \ ( a \ \rm{は} -1 \rm{を除く実数、} \it{x} \ \rm{は正の実数} ) \end{align}\]
三角関数 \[ \begin{align} &\int \sin x dx = - \cos x + C \ \ (x \ \rm は実数)\\\\ &\int \cos x dx = \sin x + C \ \ (x \ \rm は実数)\\\\ &\int \frac{1}{\cos ^2 x} dx = \tan x + C \ \ (x \ \rm は \ \it n \ \rm を整数として、\frac{(2 \it n \rm -1) \pi}{2} \ を除く実数) \end{align}\]
指数関数 \[ \begin{align} &\int e^x dx = e^x + C \ \ ( x \ \rm{は実数} ) \\\\ &\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \ \ ( x \ \rm{は実数、} \ \it{a} \ \rm{は} \ 1 \ {を除く正の実数} ) \end{align}\]
逆三角関数 \[ \begin{align} &\int \sin ^{-1} x dx = x \sin ^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\ &\int \cos ^{-1} x dx = x \cos ^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\ &\int \tan ^{-1} x dx = x \tan ^{-1} x - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C \ \ ( -\infty \lt x \lt \infty ) \end{align}\]

　未知の変数、定数および数を適当に配置し、不等号 \( (\lt,\gt,\leqq,\geqq) \) で結んだ数式のこと。
例： \( x + a \lt 3 \) は、\( x \) を未知の変数、\( a \) を定数とすれば、\( x \) についての不等式である。

　 \( 0 \) より小さな数。

　1つの分数を2つ以上の分数の和として表すこと。実数 \( a \) 、\( b \) 、\( c \) 、\( d \) 、\( x \) について、以下が成り立つ。 \[ \begin{align} &[1] \ \ \ \ \frac{1}{ab} = \frac{1}{a+b} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{a \left( a + b \right) } + \frac{1}{b \left( a + b \right) } \\\\ &[2] \ \ \ \ \frac{1}{\left( ax + b \right) \left( cx + d \right) } = \frac{1}{ad - bc} \left( \frac{a}{ax + b} - \frac{c}{cx + d} \right) \end{align}\]

　確率変数 \( X \) の期待値を \( E(X) \) と表すとき、確率変数 \( X \) の分散 \( V(X) \) は次式で定義される。 \[ V(X) = E \left( \left( X - E(X) \right) ^2 \right) \] 分散 \( V(X) \) は次式で求めることもできる。 \[ V(X) = E(X^2) - \left\{ E(X) \right\}^2 \] 分散の平行移動・定数倍
　確率変数 \( X \) の分散について、\( a \) を定数とすると次が成り立つ。 \[ V(X+a) = V(X) \] \[ V(aX) = a^2 V(X) \] 確率空間の積の分散
　確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \rm ( \Omega _1) , \it P \rm _1 \right) \) の確率変数を \( X \) とし、確率空間 \( \left( \Omega _2 , \mathcal P \rm ( \Omega _2) , \it P \rm _2 \right) \) の確率変数を \( Y \) とする。 これら2つの確率空間の積において定義される \( V(X+Y) \) について、次が成り立つ。 \[ V(X+Y) = V(X) + V(Y) \]

　商を表す記法の一つ。\( a \div b = \frac{a}{b} \) である。割られる数 \( a \) を分子、割る数 \( b \) を分母と呼ぶ。
　二つ以上の分数の分母をそろえることを通分すると呼ぶ。例えば、\( l \) 、\( n \) を自然数、\( k \) 、\( m \) を整数とし、\( l \neq n \) とする。このとき、 \[ \frac{k}{l} + \frac{m}{n} = \frac{kn+lm}{ln} \] のように通分は行われる。

　たし算とかけ算による計算の法則の一つ。\( a ( b + c ) = a b + a c \)

[1] 関数 \( y = f(x) \) が \( [a,b] \) で連続、\( \left( a,b \right) \) で微分可能なら、 \[ \begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \end{align}\] を満たす点 \( c \ \left( a \lt c \lt b \right) \) が存在する。これを平均値の定理と呼ぶ。

[2] 2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) を \( C^1 \) - 関数とし、その定義域を \( D \) とする。 ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、点 \( \alpha \left( a,b \right) \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\} \end{align}\] について、\( U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \) が成り立つとする。 このとき、\( \left( a + s, b + t \right) \in U \left( \alpha , \delta \right) \) を満たす各点 \( \left( s,t \right) \) に対して、\( \theta \ \left( 0 \lt \theta \lt 1 \right) \) が存在して、次式が成り立つ。 \[ \begin{align} f \left( a + s, b + t \right) = f \left( a, b \right) + s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta s , b + \theta t \right) + t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a + \theta s , b + \theta t \right) \end{align}\]

　関数 \( y = f(x - a) \) は、関数 \( y = f(x) \) を \( x \) 軸方向に \( a \) だけ平行移動したものである。同様に、関数 \( y - a = f(x) \) は、関数 \( y = f(x) \) を \( y \) 軸方向に \( a \) だけ平行移動したものである。

　数 \( x \) の平方根 \( \sqrt{x} \) とは二回かけると \( x \) になる数のうち正の数であるものを指す。
例： \( 4 \) の平方根 \( \sqrt{4} = 2 \) である。

　方程式の等号 \( (=) \) 、あるいは不等式の不等号 \( (\lt,\gt,\leqq,\geqq) \) で結ばれた未知の変数、定数および数のこと。等号および不等号の左側にある未知の変数、定数および数は左辺（さへん）と呼ばれ、右側にあるものは右辺（うへん）と呼ばれる。

　ある文字、あるいは記号の値を変化するものとして取り扱うとき、その文字、あるいは記号を変数と言う。

　常微分方程式 \[ \frac{dy}{dx} = f (y) g(x) \] を解くための技法のこと。両辺を \( f (y) \) で割ってから、両辺を \( x \) で不定積分し、初期条件より積分定数を求めると解が定まる。

　実数全体からなる集合を \( \mathbb{R} \) とする。\( n \) を自然数とし、\( n \) 個の \( \mathbb{R} \) からなる直積を \( \mathbb{R} ^n \) と表す。 \( \mathbb{R} ^n \) の元を変数にとる \( n \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) について、 \( D \subset \mathbb{R} ^n \) を満たすある集合 \( D \) のすべての元において \( x_k \) に関して偏微分可能なとき、 元 \( \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) に対してその元での \( x_k \) に関する偏微分係数を対応させる関数を \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) の \( x_k \) に関する偏導関数といい、 \[ \frac{\partial f}{\partial x_k} \] と表す。

高次偏導関数
　\( i \) および \( j \) をいずれも \( n \) 以下の任意の自然数とする。\( \mathbb{R} ^n \) の元を変数にとる \( n \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) の \( x_i \) に関する偏導関数について、この関数の \( x_j \) に関する偏導関数を次式で表す。 \[ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right) = \frac{\partial ^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \] ただし、\( i = j \) の場合、次の表記も用いる。 \[ \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right) = \frac{\partial ^2 f}{\partial x_i ^2} \] これらを2次偏導関数と呼ぶ。
　\( i \) 、\( j \) 、\( k \) をいずれも \( n \) 以下の任意の自然数とする。\( \mathbb{R} ^n \) の元を変数にとる \( n \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) の \( x_i \) に関する偏導関数の \( x_j \) に関する偏導関数について、この関数の \( x_k \) に関する偏導関数を次式で表す。 \[ \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \right) = \frac{\partial ^3 f}{\partial x_k \partial x_j \partial x_i} \] ただし、\( i = j \) の場合、次の表記も用いる。 \[ \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial x_i \partial x_i} \right) = \frac{\partial ^3 f}{\partial x_k \partial x_i ^2} \] また、\( j = k \) の場合、次の表記も用いる。 \[ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \right) = \frac{\partial ^3 f}{\partial x_j ^2 \partial x_i} \] \( i = j = k \) の場合は、次の表記も用いる。 \[ \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial x_i \partial x_i} \right) = \frac{\partial ^3 f}{\partial x_i ^3} \] これらを3次偏導関数と呼ぶ。4次以上の偏導関数についても同様である。

　\( m \) を自然数とする。\( \mathbb{R} ^n \) の元を変数にとる \( n \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) について、すべての \( m \) 次偏導関数が連続であるとき、関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) を \( \boldsymbol C^m \) - 関数と呼ぶ。 また、任意の自然数 \( l \) について、すべての \( l \) 次偏導関数が連続であるとき、関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) を \( \boldsymbol C^{\infty} \) - 関数と呼ぶ。

　実数全体からなる集合を \( \mathbb{R} \) とする。\( n \) を自然数とし、\( n \) 個の \( \mathbb{R} \) からなる直積を \( \mathbb{R} ^n \) と表す。 \( \mathbb{R} ^n \) の元を変数にとる \( n \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) について、 \[ \lim _{h \to 0} \frac{f \left( p_1, p_2, \ldots , p_k + h , \ldots , p_n \right) - f \left( p_1, p_2, \ldots ,p_k, \ldots , p_n \right) }{h}\] が存在するとき、\( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) は元 \( \left( p_1, p_2, \ldots , p_n \right) \) において \( x_k \) に関して偏微分可能であるという。 また、その極限値を元 \( \left( p_1, p_2, \ldots , p_n \right) \) における \( x_k \) に関する偏微分係数といい、 \[ \frac{\partial f}{\partial x_k} \left( p_1, p_2, \ldots , p_n \right) \] と表す。
　元 \( \left( p_1, p_2, \ldots , p_n \right) \) においてすべての \( x_k \left( k = 1,2, \ldots , n \right) \) に関して偏微分可能であるとき、単に \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_n \right) \) は偏微分可能であるという。

　未知関数の偏導関数を含む方程式。偏微分方程式を、 初期条件と呼ばれる時刻 \( t = 0 \) における未知関数の値や、 境界条件と呼ばれる空間領域における境界部での未知関数に関する条件を指定して解く問題を総称して境界値問題と呼ぶ。

　未知の変数、定数および数を適当に配置し、等号 \( (=) \) で結んだ数式のこと。未知の変数は一つ以上含まれなければならない。
例： \( x + a = 3 \) は、\( x \) を未知の変数、\( a \) を定数とすれば、\( x \) についての方程式である。

　二次曲線の一種。軸が \( y \) 軸に平行な場合、次の式で表される。 \[ y - q = a (x - p)^2 \ \ (a \neq 0, p\ と\ q\ は任意の実数)\] \( a \gt 0 \) のとき、グラフは下に凸であり、\( a \lt 0 \) のとき、グラフは上に凸である。頂点の座標は \( (p,q) \) 、軸は直線 \( x = p \) である。
　軸が \( x \) 軸に平行な場合、次の式で表される。 \[ x - q = a (y - p)^2 \ \ (a \neq 0, p\ と\ q\ は任意の実数)\] \( a \gt 0 \) のとき、グラフは左に凸であり、\( a \lt 0 \) のとき、グラフは右に凸である。頂点の座標は \( (q,p) \) 、軸は直線 \( y = p \) である。

　ある数の近似値を計算する場合に、四捨五入によって数の桁が落ちることにより生じる誤差のこと。

　限りないこと。限りなく大きな数を \( \infty \) と表す。ゆえに、限りなく小さな数は \( - \infty \) となる。

　循環しない無限小数のこと。

　真偽が定まっている文や式のこと。議論の中で重要な命題は定理（ていり）とも呼ばれる。

　変数 \( x \) に依存して真偽が定まる命題 \( P(x) \) を命題関数と呼ぶ。

　限りあること。

　任意の整数 \( n,m \) を用いて、\( \frac{m}{n} \) と表せる数。
例： \( \frac{2}{5} \) 、\( \frac{13}{100} \)

　次式で表される関数のこと。数の小数点以下を切り捨てる操作を関数として表したものとも言える。 \[ y = \lfloor x \rfloor \ \ ( \lfloor x \rfloor は \ x \ 以下の最大の整数を表す ) \]

　正方行列 \( A \) が、\( A A ^{\dagger} = E \) を満たすとき、\( A \) をユニタリ行列と呼ぶ。 特に、実行列であるユニタリ行列を直交行列と呼ぶ。

　\( n \) 次正方行列 \( A \) の第 \( i \) 行、第 \( j \) 列を除いてできる \( n-1 \) 次正方行列の行列式を \( A \) の第 \( \left( i, j \right) \) 小行列式と呼び、 これに \( \left( -1 \right) ^{i+j}\) をかけたものを \( A \) の第 \( \left( i, j \right) \) 余因子と呼ぶ。

余因子展開
　\( n \) 次行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) の第 \( \left( i,j \right) \) 余因子を \( \tilde{a} _{ij} \) で表すとき、次の展開式が成り立つ。 \[ \begin{align} \left| A \right| &= a_{1j} \tilde{a} _{1j} + a _{2j} \tilde{a} _{2j} + \cdots + a _{nj} \tilde{a} _{nj} \ \ \ \left( j = 1,2, \cdots , n \right) \ \ \ldots \left( 1 \right) \\\\ \left| A \right| &= a_{i1} \tilde{a} _{i1} + a _{i2} \tilde{a} _{i2} + \cdots + a _{in} \tilde{a} _{in} \ \ \ \left( i = 1,2, \cdots , n \right) \ \ \ldots \left( 2 \right) \\\\ \end{align}\] \( \left( 1 \right) \) 、\( \left( 2 \right) \) を、それぞれ第 \( j \) 列、第 \( i \) 行に関する行列式の展開と呼ぶ。

余因子行列
　\( \tilde{a} _{ji} \) を \( \left( i,j \right) \) 成分とする \( n \) 次行列を \( A \) の余因子行列と呼び、\( \tilde{A} \) で表す。すなわち、 \[ \begin{align} \tilde{A} = \left( \begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \ldots & \tilde{a}_{n1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \ldots & \tilde{a}_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] である。余因子行列について、次が成り立つ。 \[ \begin{align} \tilde{A} A = A \tilde{A} = \left| A \right| \cdot E_n \end{align}\]

　時刻 \( t \) を変数に持つ偏微分方程式に対する数値積分の一つ。

　半径が \( 1 \) の円において、弧の長さが \( \theta \) のときの中心角を \( \theta \) ラジアンという。単位のラジアンは省略して表記されることが多い。ラジアンを用いて角度を表す方法を弧度法と呼ぶ。ラジアンと度 \( (^{\circ}) \) の関係は以下の式で表される。 \[ \pi \ ラジアン \ = 180^{\circ} \] 　弧度法においては、角度は次のように実数全体へと拡張される。
　まず、\( xy \) 平面上に、原点 \( O \) を中心とする半径 \( 1 \) の円を取る。この円を単位円と呼ぶ。点 \( A (1,0) \) を出発点として、点 \( P \) が単位円の円周上を動くとする。点 \( P \) の動き方に応じて、一般角 \( \theta \) を次のように定める。

[1] 点 \( P \) が単位円周上を反時計周りに動いたとき、\( \theta = \angle POA \ \ \left( 0 \leq \angle POA \lt 2 \pi \right) \) とする。ただし、\( n \) を任意の自然数として、点 \( P \) が単位円周上を反時計回りに \( n \) 周以上動いたときは、\( \theta = \angle POA + 2n \pi \) とする。

[2] 点 \( P \) が単位円周上を時計周りに動いたとき、\( \theta = - \angle POA \ \ \left( 0 \leq \angle POA \lt 2 \pi \right) \) とする。ただし、\( n \) を任意の自然数として、点 \( P \) が単位円周上を時計回りに \( n \) 周以上動いたときは、\( \theta = - \angle POA - 2n \pi \) とする。

　ランダムな数のこと。

　複素平面における部分集合 \( D \) の任意の 2 点を \( D \) 内の連続曲線で結ぶことができるとき、\( D \) を弧状連結と呼ぶ。 弧状連結な開集合を領域と呼ぶ。

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]が成り立つとき、関数 \( y = f(x) \) は \( x = a \) で連続であるという。
　\( y = f(x) \) が \( x = a \) において微分可能ならば、\( x = a \) において連続である。

　同時に成り立つ複数の方程式の集まりのこと。方程式系とも呼ばれる。

　１次方程式のみからなる連立方程式のこと。一般に、\( n \) 個の未知数 \( x_1 , x_2 , \ldots , x_n \) についての \( n \) 個の１次方程式 \[ \begin{align} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &= b_1 \\\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &= b_2 \\\\ \ \ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n &= b_n \\\\ \end{align}\] からなる連立１次方程式を \( n \) 元連立１次方程式と呼ぶ。
　\( n \) 次行列 \( A \) および \( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol x \) 、\( \boldsymbol b \) を \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) , \ \boldsymbol x = \left( \begin{array}{cccc} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) , \ \boldsymbol b = \left( \begin{array}{cccc} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{align}\] とすれば、上の \( n \) 元連立１次方程式は、 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \boldsymbol b \end{align}\] と表せる。このとき、\( A \) を上の \( n \) 元連立１次方程式の係数行列と呼ぶ。

　同じ変数、定数あるいは数をかけ合わせたもの。かけ合わせる回数を記号や文字の右上に書いて表す。例えば、\[ a \times a \times a = a^3\] のように表す。かけ合わせている変数、定数あるいは数を底（てい）と呼び、かけ合わせる回数を指数（しすう）と呼ぶ。

　\( a \) を正の実数とするならば、\( n \) を自然数、\( m \) を整数として、\( a \) の累乗は次のように定義される。
[1] \( a^0 = 1 \)
[2] \( a^n \) は \( a \) を \( n \) 回かけ合わせたものに等しい。
[3] \( a^{-n} \) は \( \frac{1}{a} \) を \( n \) 回かけ合わせたものに等しい。
[4] \( a^{\frac{m}{n}} \) は \( a^m \) の \( \boldsymbol n \) 乗根、すなわち、\( n \) 回かけ合わせると \( a^m \) となる数に等しい。これを、\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \) と表す。特に、\( n = 2 \) の場合、\( a^{\frac{m}{2}} = \sqrt{a^m} \) と \( 2 \) を省略して表すことがある。
[5] \( p \) を無理数とし、\( \left\{ p_l \right\} \) を有理数からなる数列とする。\[ \lim _{l \to \infty} p_l = p \] が成り立つなら、 \[ a^p = \lim _{l \to \infty} a^{p_l} \] と定める。

　累乗の計算においては、\( a \) 、\( b \) を正の実数、\( p \) 、\( q \) を実数として、次の指数法則が成り立つ。
\[ \begin{align} &[1]\ a^p a^q = a^{p+q} \\ &[2]\ \left( a^p \right) ^q = a^{pq} \\ &[3]\ (ab)^p = a^p b^p \\ &[4]\ \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \\ &[5]\ \left( \frac{1}{a^p} \right) ^q = \frac{1}{a^{pq}} \\ &[6]\ \left( \frac{a}{b} \right) ^p = \frac{a^p}{b^p} \end{align} \]

　常微分方程式の数値積分の一つ。未知関数 \( y = f(x) \) についてその導関数 \( y' = g \left( x , y \right) \) が既知であるとする。 このとき、刻み幅を \( h \) 、初期値を \( \left( x_0,y_0 \right) \) として、数値解 \( \left( x_n,y_n \right) \) \( ( n \ \rm は自然数 )\) を次のように求める。 \[ \begin{align} x_n &= x_{n-1} + h \\\\ y_n &= y_{n-1} + \frac{1}{6} h \left( k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4 \right) \\\\ \end{align}\] ここで、 \[ \begin{align} k_1 &= g \left( x_{n-1} , y_{n-1} \right) \\\\ k_2 &= g \left( x_{n-1} + \frac{1}{2} h , y_{n-1} + \frac{1}{2} h k_1 \right) \\\\ k_3 &= g \left( x_{n-1} + \frac{1}{2} h , y_{n-1} + \frac{1}{2} h k_2 \right) \\\\ k_4 &= g \left( x_{n-1} + h , y_{n-1} + h k_3 \right) \end{align}\]

[1] \( f \left( x,y \right) \) を 2 変数の \( C^1 \) - 関数、\( x = \phi \left( t \right) \) 、\( y = \psi \left( t \right) \) を 1 変数の \( C^1 \) - 関数とする。 このとき、合成関数 \( f \left( \phi \left( t \right) , \psi \left( t \right) \right) \) は 1 変数の \( C^1 \) - 関数であり、次式が成り立つ。 \[ \begin{align} \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \end{align}\]

　関数 \( f(x) \) が \( [a,b] \) で連続、\( \left( a,b \right) \) で微分可能で、\( f(a) = f(b) \) ならば、\( f'(c) = 0 \) を満たす \( c \ \left( a \lt c \lt b \right) \) が存在する。 これをロルの定理と呼ぶ。

　たし算の結果のこと。