第30話  行列

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　\( \left( m, 1 \right) \) 型の行列を \( m \) 項列ベクトル、あるいは \( m \) 項縦ベクトルと呼びます。 また、\( \left( 1, n \right) \) 型の行列を \( n \) 項行ベクトル、あるいは \( n \) 項横ベクトルと呼びます。
　行列を構成する \( m \times n \) 個の複素数を行列の成分と呼びます。 特に、上から \( i \) 番目、左から \( j \) 番目の位置にある成分 \( a_{ij} \) を \( \left( i, j \right) \) 成分と呼びます。 横に一列に並んだ列を行と呼び、縦に一列に並んだ列を列と呼びます。 特に、上から \( i \) 番目の行を第 \( i \) 行、左から \( j \) 番目の列を第 \( j \) 列と呼びます。
　\( \left( m, n \right) \) 型の行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) の第 \( j \) 列だけを取り出したものを、行列 \( A \) の第 \( j \) 列ベクトルと呼びます。 これを用いて、 \[ \begin{align} \boldsymbol a_1 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) , \ \boldsymbol a_2 \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right) , \ \ldots \ , \ \boldsymbol a_n \ \mathrm = \left( \begin{array}{cccc} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \end{align}\] と表されるとき、 \[ \begin{align} A = \left( \boldsymbol a_1 \ \ \boldsymbol a_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n \right) \end{align}\] と書くことがあります。 行についても同様に \( A \) の第 \( i \) 行だけを取り出したものを、行列 \( A \) の第 \( i \) 行ベクトルと呼びます。 これを用いて、 \[ \begin{align} & \boldsymbol a_1 \ \mathrm = \left( a_{11} , a_{12} , \cdots , a_{1n} \right) \\\\ & \boldsymbol a_2 \ \mathrm = \left( a_{21} , a_{22} , \cdots , a_{2n} \right) \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\\\ & \boldsymbol a_m \ \mathrm = \left( a_{m1} , a_{m2} , \cdots , a_{mn} \right) \end{align}\] と表されるとき、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol a_1 \\ \boldsymbol a_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_m \end{array} \right) \end{align}\] と書くことがあります。
　行列の成分は一般に複素数を取りますが、特に成分がすべて実数である行列は実行列と呼ばれます。
　行列におけるイコールは次のように定義します。

　和と定数倍については、次の演算法則が成り立ちます。

　行列の積は、行列の和と比べると少しわかりにくいかもしれません。 具体例を一つ挙げてみると、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) , \ B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right) \end{align}\] とすれば、 \[ \begin{align} AB &= \left( \begin{array}{cccc} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cccc} 14 & 10 \\ 13 & 11 \\ \end{array} \right) \end{align}\] となります。


　\( A \) が \( \left( l,m \right) \) 型行列、\( B \) が \( \left( m,n \right) \) 型行列であって、\( B \) の列ベクトルを \[ \begin{align} \boldsymbol b_1 ,\ \ \boldsymbol b_2 ,\ \ \cdots \ ,\ \boldsymbol b_n \end{align}\] とすれば、 \( \left( l,n \right) \) 型行列 \( AB \) の列ベクトルは、 \[ \begin{align} A \boldsymbol b_1 ,\ A \boldsymbol b_2 ,\ \cdots \ ,\ A \boldsymbol b_n \end{align}\] となります。 そのため、 \[ \begin{align} AB = \left( A \boldsymbol b_1 \ \ A \boldsymbol b_2 \ \ \cdots \ \ A \boldsymbol b_n \right) \end{align}\] と表すことがあります。 また、\( A \) の行ベクトルを \[ \begin{align} \boldsymbol a_1 ,\ \ \boldsymbol a_2 ,\ \ \cdots \ ,\ \boldsymbol a_l \end{align}\] とすれば、\( AB \) の行ベクトルは、 \[ \begin{align} \boldsymbol a_1 B ,\ \boldsymbol a_2 B ,\ \cdots \ ,\ \boldsymbol a_l B \end{align}\] となります。そのため、 \[ \begin{align} AB = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol a_1 B \\ \boldsymbol a_2 B \\ \vdots \\ \boldsymbol a_l B \end{array} \right) \end{align}\] と表すことがあります。


　行列の積については、次の演算法則が成り立ちます。