第34話  行列式

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　行列式はその定義から様々な性質を導くことができます。

　定理 1 は、対角行列の対角成分以外の成分がすべて 0 であることより、 \[ \begin{align} a_{1 \sigma \left( 1 \right)} a_{2 \sigma \left( 2 \right)} \cdots a_{n \sigma \left( n \right)} \neq 0 \end{align}\] を満たす置換 \( \sigma \) が恒等置換のみであることより導かれます。

　定理 2 は、行列 \( A \) の一つの行または列がすべて 0 なら、任意の置換 \( \sigma \) について、 \[ \begin{align} a_{1 \sigma \left( 1 \right)} a_{2 \sigma \left( 2 \right)} \cdots a_{n \sigma \left( n \right)} = 0 \end{align}\] が成り立つことから導かれます。

　定理 3 は、\( cA = \left( c a_{ij} \right) \) であることと、行列式の定義により導かれます。

　行列式の性質をさらに詳しく知るために、以下で定義される転置行列というものを考えます。

　転置行列の行列式について、次の定理が成り立ちます。

　定理 4 を証明します。\( A = \left( a_{ij} \right) \) とします。 置換 \( \sigma \) が \( S_n \) 全体を重複なく動くとき、\( \sigma ^{-1} \) も \( S_n \) 全体を重複なく動くので、 \[ \begin{align} \left| A \right| &= \sum _{\sigma \in S_n } \rm sgn \ \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \\\\ &= \sum _{\sigma \in S_n } \rm sgn \ \sigma ^{-1} \cdot \it a_{\rm 1 \it \sigma \rm ^{-1} \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \sigma \rm ^{-1} \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \sigma \rm ^{-1} \left( \it n \rm \right)} \end{align}\] ここで、\( \sigma ^{-1} \left( 1 \right) , \sigma ^{-1} \left( 2 \right) , \cdots , \sigma ^{-1} \left( n \right) \) が小さい順に \( a_{i \sigma \rm ^{-1} \left( \it i \rm \right)} \) を並べ替えます。 任意の \( i \ \left( i = 1,2, \ldots , n \right) \) に対し、\( \sigma ^{-1} \left( i \right) = k \) とすれば、\( i = \sigma \left( k \right) \) であるから、 \[ \begin{align} a_{i \sigma ^{-1} \left( i \right)} = a_{\sigma \left( k \right) k} \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} \left| A \right| &= \sum _{\sigma \in S_n} \rm sgn \ \sigma \cdot \it a_ \rm {\sigma \left( 1 \right) 1} \it a \rm _{\sigma \left( 2 \right) 2} \cdots \it a_ \rm {\sigma \left( \it n \rm \right) \it n} \\\\ &= \left| ^t A \right| \end{align}\] 　定理 4 より、行列式に関する性質で、列に関して成り立つことは、すべて行に関しても成り立つことがわかります。

　続いて、和と定数倍に関する性質について見ていきます。

　定理 5 と定理 6 を行列式の列に関する \( n \) 重線型性と呼びます。 定理 4 より、定理 5 と定理 6 は行に関しても同様の定理が成り立ちます。

　定理 7 を証明します。 \[ \begin{align} \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{\tau \left( 1 \right)} , \it \boldsymbol a \rm _{\tau \left( 2 \right)} , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a_{\tau \left( n \right)} \right) &= \sum _{\sigma \in S_n } \rm sgn \ \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \tau \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \tau \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \tau \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \\\\ &= \rm sgn \ \tau \sum _{\sigma \in \it S_n } \rm sgn \ \tau \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \tau \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \tau \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \tau \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \\\\ \end{align}\] \( \tau \) を固定すれば、\( \sigma \) が \( S_n \) 全体を重複なく動くとき、\( \tau \sigma \) も \( S_n \) 全体を重複なく動くため、 \[ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \rm sgn \ \tau \sum _{\sigma \in \it S_n } \rm sgn \ \tau \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \tau \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \tau \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \tau \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \\\\ &= \rm sgn \ \tau \sum _{\sigma \in \it S_n } \rm sgn \ \sigma \cdot \it a_{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} \it a_{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} \cdots \it a_{n \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} \\\\ &= \rm sgn \ \tau \cdot \left| \it A \rm \right| \end{align}\] 　定理 7 から、次の定理 8 と定理 9 が導かれます。

　定理 8 は行列 \( A \) に含まれる二つの一致する列を交換する互換 \( \tau \) を考えると、\( \rm sgn \ \tau = - 1\) であることから、定理 7 より、 \[ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{\tau \left( 1 \right)} , \it \boldsymbol a \rm _{\tau \left( 2 \right)} , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a_{\tau \left( n \right)} \right) = - \ det \left( \it \boldsymbol a \rm _{1} , \it \boldsymbol a \rm _{2} , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a_{n} \right) \end{align}\] となるため、これを満たす行列式の値は \( \left| A \right| = 0 \) となります。

　次に、定理 9 を証明します。行列 \( A \) の第 \( i \) 列に第 \( j \) 列の \( c \) 倍を加えると、 \[ \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{1} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a \rm _{\it i} \rm + \it c \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \ , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \ , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a_{n} \right) \\\\ &= \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{1} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a \rm _{\it i} \rm \ , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \ , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a_{n} \right) \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + c \cdot \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{1} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \rm \ , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \ , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a_{n} \right) \\\\ &= \rm det \left( \it \boldsymbol a \rm _{1} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a \rm _{\it i} \rm \ , \ \cdots , \ \ \it \boldsymbol a \rm _{\it j} \ , \ \cdots , \ \it \boldsymbol a_{n} \right) = \left| \it A \right| \end{align}\] 　最後に、行列の積の行列式についてです。

　定理 9 の証明にあたり、先に次の補題を証明しておきます。

　補題を証明します。まず、 \[ \begin{align} \boldsymbol x _{j} = \sum _{i=1} ^n x_{ij} \boldsymbol e_i \ \ \ \left( j = 1, 2, \ldots , n \right) \end{align}\] と表せるので、 \[ \begin{align} F \left( \boldsymbol x _{1} , \ \boldsymbol x _{2} , \ \cdots , \ \boldsymbol x _{n} \right) &= F \left( \sum _{i_1 =1} ^n x_{i_1 1} \boldsymbol e_{i_1} , \ \sum _{i_2 =1} ^n x_{i_2 2} \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \sum _{i_n =1} ^n x_{i_n n} \boldsymbol e_{i_n} \right) \\\\ &= \sum _{i_1 =1} ^n F \left( x_{i_1 1} \boldsymbol e_{i_1} , \ \sum _{i_2 =1} ^n x_{i_2 2} \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \sum _{i_n =1} ^n x_{i_n n} \boldsymbol e_{i_n} \right) \\\\ &= \sum _{i_1 =1} ^n x_{i_1 1} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \sum _{i_2 =1} ^n x_{i_2 2} \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \sum _{i_n =1} ^n x_{i_n n} \boldsymbol e_{i_n} \right) \\\\ &= \sum _{i_1 =1} ^n x_{i_1 1} \sum _{i_2 =1} ^n x_{i_2 2} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \sum _{i_n =1} ^n x_{i_n n} \boldsymbol e_{i_n} \right) \\\\ &= \sum _{i_1 =1} ^n \sum _{i_2 =1} ^n x_{i_1 1} x_{i_2 2} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \sum _{i_n =1} ^n x_{i_n n} \boldsymbol e_{i_n} \right) \\\\ &= \sum _{i_1 =1} ^n \sum _{i_2 =1} ^n \cdots \sum _{i_n =1} ^n x_{i_1 1} x_{i_2 2} \cdots x_{i_n n} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e_{i_n} \right) \end{align}\] となります。 \( i_1 , i_2 , \ldots , i_n \) の中に同じものがあれば、交代性により、 \[ \begin{align} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e_{i_n} \right) = 0 \end{align}\] となります。他方、\( i_1 , i_2 , \ldots , i_n \) がすべて相異なれば、 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \\ \end{array} \right) \end{align}\] は \( n \) 文字の置換であるから、ふたたび交代性により、 \[ \begin{align} F \left( \boldsymbol e_{i_1} , \ \boldsymbol e_{i_2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e_{i_n} \right) = \rm sgn \ \sigma \cdot \it F \rm \left( \it \boldsymbol e_{\rm 1} , \ \it \boldsymbol e_{\rm 2} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol e_{n} \right) \end{align}\] となります。したがって、 \[ \begin{align} F \left( \boldsymbol x _{1} , \ \boldsymbol x _{2} , \ \cdots , \ \boldsymbol x _{n} \right) &= \sum _{\sigma \in S_n } \it x_{\it \sigma \rm \left( 1 \right) \rm 1} \it x_{\it \sigma \rm \left( 2 \right) \rm 2} \cdots \it x_{\sigma \rm \left( \it n \rm \right) \it n} \cdot \rm sgn \ \sigma \cdot \it F \left( \boldsymbol e_{\rm 1} , \ \boldsymbol e_{\rm 2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e_{n} \right) \\\\ &= F \left( \boldsymbol e_{\rm 1} , \ \boldsymbol e_{\rm 2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e_{n} \right) \cdot \rm det \left( \it \boldsymbol x \rm _{1} , \ \it \boldsymbol x \rm _{2} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol x \rm _{\it n} \right) \end{align}\] よって、補題が証明されました。


　続いて、定理 9 を証明します。\( A \) と \( X \) を \( n \) 次行列とし、 \[ \begin{align} X = \left( \boldsymbol x_1 \ \ \boldsymbol x_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol x_n \right) \end{align}\] と表します。このとき、 \[ \begin{align} F \left( \boldsymbol x _{1} , \ \boldsymbol x _{2} , \ \cdots , \ \boldsymbol x _{n} \right) = \rm det \left( \it A \boldsymbol x \rm _{1} \ \it A \boldsymbol x \rm _{2} \ \cdots \ \it A \boldsymbol x \rm _{\it n} \right) = \left| \it AX \right| \end{align}\] とおくと、\( F \) は \( n \) 重線型性および交代性を持ちます。よって、補題より、 \[ \begin{align} \left| \it AX \right| &= F \left( \boldsymbol e _{1} , \ \boldsymbol e _{2} , \ \cdots , \ \boldsymbol e _{n} \right) \cdot \rm det \left( \it \boldsymbol x \rm _{1} , \ \it \boldsymbol x \rm _{2} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol x \rm _{\it n} \right) \\\\ &= \rm det \left( \it A \boldsymbol e _{\rm 1} , \ \it A \boldsymbol e _{\rm 2} , \ \cdots , \ \it A \boldsymbol e _{n} \right) \cdot \rm det \left( \it \boldsymbol x \rm _{1} , \ \it \boldsymbol x \rm _{2} , \ \cdots , \ \it \boldsymbol x \rm _{\it n} \right) \\\\ &= \left| \it A \right| \cdot \left| \it X \right| \end{align}\] となり、定理 9 が証明されました。