第40話  固有値

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　固有方程式は \( \lambda \) についての \( n \) 次方程式であり、その解 \( \lambda _1 , \ \lambda _2 , \cdots , \ \lambda _n \) を固有値と呼びます。 \( \boldsymbol x \) を未知の \( n \) 項列ベクトルとすれば、各固有値 \( \lambda _k \ \left( k = 1,2, \cdots , n \right) \) に対して、 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \lambda _k \boldsymbol x \ \ \ \left( k = 1,2, \cdots , n \right) \end{align}\] すなわち、 \[ \begin{align} \left( A - \lambda _k E_n \right) \boldsymbol x = 0 \ \ \ \left( k = 1,2, \cdots , n \right) \ \ \ldots \left( 1 \right) \end{align}\] は \[ \begin{align} \left| A - \lambda _k E_n \right| = 0 \end{align}\] であることから、自明でない解 \( \boldsymbol x_k \) を持ちます。 \( \left( 1 \right) \) を固有値方程式と呼び、解となる \( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol x_k \) を \( \lambda _k \) に対する固有ベクトルと呼びます。

　次の2 次正方行列 \( A \) を例にとって、固有値と固有ベクトルの計算をしてみます。 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -4 & -6 \end{array} \right) \end{align}\] 固有方程式を計算するには、2 次正方行列に対する行列式を求める必要があります。 2 文字の置換は 2 種類あり、それらを \( \sigma \) と \( \tau \) で表すと、 \[ \begin{align} \sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right), \ \tau = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \end{align}\] となります。よって、 一般に、2 次正方行列 \( X \) を \[ \begin{align} X = \left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \end{align}\] と表すとき、次式が成り立ちます。 \[ \begin{align} |X| &= \rm sgn \ \it \sigma \cdot x_{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} x_{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} \rm + sgn \ \it \tau \cdot x_{\rm 1 \it \tau \rm \left( 1 \right)} x_{\rm 2 \it \tau \rm \left( 2 \right)} \\\\ & \rm = \it x_{\rm 11} x_{\rm 22} \rm - \it x_{\rm 12} x_{\rm 21} \end{align}\] この式を用いて、固有方程式を計算すると、 \[ \begin{align} \left| \begin{array}{cc} 1 - \lambda & 3 \\ -4 & -6 - \lambda \end{array} \right| &= \left( 1 - \lambda \right) \left( -6 - \lambda \right) - 3 \cdot \left( -4 \right) \\\\ &= -6 + 5 \lambda + \lambda ^2 + 12 \\\\ &= \lambda ^2 + 5 \lambda + 6 \\\\ &= \left( \lambda + 2 \right) \left( \lambda + 3 \right) = 0 \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} \lambda _1 = -2, \ \lambda _2 = -3 \end{align}\] が固有値となります。

　続いて、固有値方程式を解いていきます。固有値方程式は、次の連立一次方程式により表されます。 \[ \begin{align} \left. \begin{array}{c} \ \ \ \ \ \ \left( 1 - \lambda \right) x_1 + 3 x_2 = 0 &\\\\ -4 x_1 + \left( -6 - \lambda \right) x_2 = 0 & \end{array} \right\} \ \cdots \left( 2 \right) \end{align}\] \( \left( 2 \right) \) 式の \( \lambda \) に \( \lambda _1 \) または \( \lambda _2 \) を代入したものを解くことで、固有ベクトルが求められます。 \( \lambda _1 = -2 \) を代入すると、 \[ \begin{align} \left. \begin{array}{c} \ \ \ \ 3 x_1 + 3 x_2 = 0 &\\\\ -4 x_1 -4 x_2 = 0 & \end{array} \right\} \ \cdots \left( 2' \right) \end{align}\] となり、これを解くと \( x_2 = - x_1 \) が得られます。 よって、\( \lambda _1 = -2 \) に対応する固有ベクトル \( \boldsymbol x_1 \) は、\( c_1 \) を任意定数として、 \[ \begin{align} \boldsymbol x_1 = c_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{align}\] と表されます。 \( \lambda _2 = -3 \) を代入した場合は、 \[ \begin{align} \left. \begin{array}{c} \ \ \ \ 4 x_1 + 3 x_2 = 0 &\\\\ -4 x_1 -3 x_2 = 0 & \end{array} \right\} \ \cdots \left( 2'' \right) \end{align}\] となり、これを解くと \( -3 x_2 = 4 x_1 \) が得られます。 よって、\( \lambda _2 = -3 \) に対応する固有ベクトル \( \boldsymbol x_2 \) は、\( c_2 \) を任意定数として、 \[ \begin{align} \boldsymbol x_2 = c_2 \left( \begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array} \right) \end{align}\] と表されます。

　固有方程式の左辺は行列式の定義より、 \[ \begin{align} \left| A - \lambda E_n \right| &= \left| \begin{array}{cccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| \\\\ &= \sum _{\sigma \in S_n } \rm sgn \ \sigma \cdot \it \left( a_{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} - \delta _{\rm 1 \it \sigma \rm \left( 1 \right)} \lambda \right) \it \left( a_{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} - \delta _{\rm 2 \it \sigma \rm \left( 2 \right)} \lambda \right) \cdots \it \left( a_{n \sigma \rm \left( \it n \rm \right)} - \delta _{\it n \it \sigma \it \left( n \right)} \lambda \right) \end{align}\] と表されます。ここで、\( \delta _{m \sigma \left( m \right)} \) は、 \[ \begin{align} \delta _{m \sigma \left( m \right)} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \ \left( m = \sigma \left( m \right) \right) \\ 0 \ \ \left( m \neq \sigma \left( m \right) \right) \end{array} \right. \end{align}\] を満たすとします。 上の式から、置換 \( \sigma \) が恒等置換であるとき、\( \lambda ^n \) を含む項 \[ \begin{align} 1 \cdot \it \left( a_{\rm 1 1} - \lambda \right) \it \left( a_{\rm 2 2 } - \lambda \right) \cdots \it \left( a_{n n } - \lambda \right) \end{align}\] が得られ、これより固有方程式の左辺に含まれる \( \lambda ^n \) の係数は \( \left( -1 \right) ^n \) とわかります。

　固有値が固有方程式の解であることから、\( \lambda ^n \) の係数に気をつけると、次式が成り立ちます。 \[ \begin{align} \left| A - \lambda E_n \right| &= \left| \begin{array}{cccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| \\\\ &= \left( -1 \right) ^n \left( \lambda - \lambda _1 \right) \left( \lambda - \lambda _2 \right) \cdots \left( \lambda - \lambda _n \right) \end{align}\] この式は任意の \( \lambda \) について成り立つため、\( \lambda = 0 \) を代入すると、 \[ \begin{align} \left| A \right| &= \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right| \\\\ &= \left( -1 \right) ^n \left( - \lambda _1 \right) \left( - \lambda _2 \right) \cdots \left(- \lambda _n \right) \\\\ &= \left( -1 \right) ^{2n} \lambda _1 \lambda _2 \cdots \lambda _n \\\\ &= \lambda _1 \lambda _2 \cdots \lambda _n \end{align}\] となり、\( \left( 3 \right) \) 式が成り立ちます。

　\( A \) を \( n \) 次対角行列とし、 \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] と表すなら、固有方程式より、 \[ \begin{align} \left| A - \lambda E_n \right| = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} - \lambda & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} - \lambda & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| = 0 \ \ldots \left( 4 \right) \end{align}\] 一方、対角行列の行列式は対角成分の積に等しいため、 \[ \begin{align} \left| A - \lambda E_n \right| = \left( a_{11} - \lambda \right) \left( a_{22} - \lambda \right) \cdots \left( a_{nn} - \lambda \right) \ \ldots \left( 5 \right) \end{align}\] \( \left( 4 \right) \) 式と \( \left( 5 \right) \) 式より、固有方程式は、 \[ \begin{align} \left( a_{11} - \lambda \right) \left( a_{22} - \lambda \right) \cdots \left( a_{nn} - \lambda \right) = 0 \end{align}\] となり、この方程式の解はいずれも \( A \) の対角成分となることから、上の定理が成り立ちます。