第36話  クラメルの公式

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　\( n \) 次行列 \( A \) および \( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol x \) 、\( \boldsymbol b \) を \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) , \ \boldsymbol x = \left( \begin{array}{cccc} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) , \ \boldsymbol b = \left( \begin{array}{cccc} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{align}\] とすれば、上の \( n \) 元連立１次方程式は、 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \boldsymbol b \ \ \ldots \left( 1 \right) \end{align}\] と表せます。このとき、\( A \) を上の \( n \) 元連立１次方程式の係数行列と呼びます。

　行列 \( A \) が正則であるなら、\( \left( 1 \right) \) 式の両辺に右から逆行列 \( A^{-1} \) をかけることにより、 \[ \begin{align} \boldsymbol x &= A^{-1} \boldsymbol b \\\\ &= \frac{1}{\left| A \right|} \tilde{A} \boldsymbol b \\\\ &= \frac{1}{\left| A \right|} \left( \begin{array}{cccc} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \ldots & \tilde{a}_{n1} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \ldots & \tilde{a}_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \\\\ &= \frac{1}{\left| A \right|} \left( \begin{array}{cccc} b_1 \tilde{a}_{11} + b_2 \tilde{a}_{21} + \ldots + b_n \tilde{a}_{n1} \\ b_1 \tilde{a}_{12} + b_2 \tilde{a}_{22} + \ldots + b_n \tilde{a}_{n2} \\ \vdots \\ b_1 \tilde{a}_{1n} + b_2 \tilde{a}_{2n} + \ldots + b_n \tilde{a}_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] となります。上の式最終行の列ベクトルの第 \( j \) 成分は行列 \( A \) の第 \( j \) 列を \( \boldsymbol b \) で置き換えた行列 \[ \begin{align} A_j = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \ldots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \ldots & a_{n1} \\ a_{12} & \ldots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \ldots & a_{n2} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \ldots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] の第 \( j \) 列に関する展開式になります。よって、次の公式が成り立ちます。

　クラメルの公式より、\( n \) 元連立１次方程式 \[ \begin{align} A \boldsymbol x = \boldsymbol b \end{align}\] の解の個数について、次のようにまとめられます。

　まずは、[1] を証明します。\( \boldsymbol b \) の成分のうち 0 でない成分を \( b_i \) とし、それ以外の成分をすべて 0 と仮定します。 すると、 \[ \begin{align} x_j = \frac{b_i a_{ij}}{\left| A \right|} \ \ \left( j = 1,2, \ldots , n \right) \end{align}\] となります。もし、すべての \( j \) について \( x_j = 0 \) が成り立つならば、上の式より、すべての \( j \) について \( a_{ij} = 0 \) が成り立ちます。 すると、行列 \( A \) の第 \( i \) 行の成分はすべて 0 となりますが、これは \( \left| A \right| \neq 0 \) に反します。 よって、\( x_j \) のうち少なくとも 1 つは 0 でなく、また、クラメルの公式から解は一意に定まるとわかります。

　[2] については条件より、任意の \( j \) について \( \left| A_j \right| = 0 \) が成り立ちます。 ゆえに、クラメルの公式より任意の \( j \) について \( x_j = 0 \) とわかります。