目次
・行列の区分け
・正方行列の対称区分け
カヤ
今回は行列の区分けについて解説する。
行列の区分け
今回は行列を区分けして取り扱う方法について紹介します。
まずは、例として次の行列を考えます。
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
3 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{align}\]
この行列の 1 行目と 2 行目の間に横線を書き、1 列目と 2 列目の間に縦線を書いて、次のように 4 つの区画に分けてみます。
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 1 \\
\hline
3 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{align}\]
分けられた各区画をそれぞれ 1 つの行列とみなして、それらの位置に従い
\[ \begin{align}
& A_{11} =
\left(
\begin{array}{c}
1
\end{array}
\right)
, \ \
A_{12} =
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1
\end{array}
\right) \\\\
& A_{21} =
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array}
\right)
, \ \
A_{22} =
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right)
\end{align}\]
とおき、
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
と書き表します。
以上のことを、一般の行列に適用すると次のようになります。
以上のことを、一般の行列に適用すると次のようになります。
\[ 行列の区分け\]
\( \left( l , m \right) \) 型の行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) を、
\( p - 1 \) 本の横線と、\( q - 1 \) 本の縦線によって、\( pq \) 個の区画に分ける。
上から \( s \) 番目、左から \( t \) 番目の区画の行列を \( A_{st} \) とするとき、
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
と書く。これを行列の区分けと呼ぶ。
ナユミ
区分けすると何かいいことがあるの？
カヤ
行列のかけ算を区分けされた行列単位で考えられるんだ。
例として、区分けされた次の 2 つの行列を考えます。
\[ \begin{align}
A &= \left(
\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 1 \\
\hline
3 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\\\\
B &=
\left(
\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c|c}
2 & 1 \\
\hline
3 & 2 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\end{align}\]
\( A \) と \( B \) の積を \( C \) とすれば、
\[ \begin{align}
C = AB &=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
3 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & 2 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\\\\
&=
\left(
\begin{array}{cc}
8 & 6 \\
6 & 5 \\
7 & 5
\end{array}
\right)
\end{align}\]
ここで、\( C \) を \( A \) と同じく 1 行目と 2 行目の間の横線で区切り、\( B \) と同じく 1 列目と 2 列目の縦線で区切ります。
\[ \begin{align}
C = \left(
\begin{array}{cc}
C_{11} & C_{12} \\
C_{21} & C_{22}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c|c}
8 & 6 \\
\hline
6 & 5 \\
7 & 5
\end{array}
\right)
\end{align}\]
このとき、次が成り立っています。
\[ \begin{align}
C_{11} &= A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} \\\\
C_{12} &= A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\\\
C_{21} &= A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} \\\\
C_{22} &= A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22}
\end{align}\]
つまり、区分けされた行列に含まれる 1 つ 1 つの区画を行列の要素のごとくみなして、行列の積を計算できるということになります。
これを形式的に式で表すと、
\[ \begin{align}
\left(
\begin{array}{cc}
C_{11} & C_{12} \\
C_{21} & C_{22}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
となります。以上のことを、一般的に記述すると次のようになります。
\[ \begin{align}
区分けされた行列同士の積
\end{align}\]
\( \left( l , m \right) \) 型の行列 \( A = \left( a_{ij} \right) \) を、\( p - 1 \) 本の横線と、\( q - 1 \)
本の縦線によって、\( pq \) 個に区分けする。
この区分けにおいて、\( A_{st} \) は \( \left( l_s , m_t \right) \) 型であるとし、
\[ \begin{align}
l &= l_1 + l_2 + \cdots + l_p \\\\
m &= m_1 + m_2 + \cdots + m_q
\end{align}\]
が成り立つとする。また、\( \left( m , n \right) \) 型の行列 \( B = \left( b_{ij} \right) \) を、\( q - 1 \) 本の横線と、\( r - 1
\) 本の縦線によって、\( qr \) 個に区分けする。
この区分けにおいて、\( B_{tu} \) は \( \left( m_t , n_u \right) \) 型であるとし、
\[ \begin{align}
m &= m_1 + m_2 + \cdots + m_q \\\\
n &= n_1 + n_2 + \cdots + n_r
\end{align}\]
が成り立つとする。さらに、積 \( C = AB \) を、\( p - 1 \) 本の横線と、\( r - 1 \) 本の縦線によって、\( pr \) 個に区分けする。
この区分けにおいて、\( C_{su} \) は \( \left( l_s , n_u \right) \) 型であるとし、
\[ \begin{align}
l &= l_1 + l_2 + \cdots + l_p \\\\
n &= n_1 + n_2 + \cdots + n_r
\end{align}\]
が成り立つとする。このとき、
\[ \begin{align}
C_{su} &= A_{s1} B_{1u} + A_{s2} B_{2u} + \cdots + A_{sq} B_{qu} \\\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \left( s = 1,2, \cdots , p \ ; \ u = 1,2, \cdots , r \right)
\end{align}\]
が成り立つ。
カヤ
続いて、正方行列の対称区分けについて見ていこう。
正方行列の対称区分け
\[ \begin{align}
正方行列の対称区分け
\end{align}\]
正方行列 \( A \) の区分け
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1p} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2p} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pp}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
において、各 \( A_{ii} \ \ \ \left( i = 1,2, \cdots p \right) \) が正方行列になるものを対称区分けと呼ぶ。
対称区分けされた正方行列は、その正則性について次の 2 つの定理が成り立つことが知られています。
[1] 正方行列 \( A \) の対称区分け
\[ \begin{align}
A =
\left(
\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
O & A_{22}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
において、\( A_{11} \) 、\( A_{22} \) が正則ならば、\( A \) も正則であり、逆行列 \( A^{-1} \) は、
\[ \begin{align}
A^{-1} =
\left(
\begin{array}{cc}
A_{11} ^{-1} & - A_{11} ^{-1} A_{12} A_{22} ^{-1} \\
O & A_{22} ^{-1}
\end{array}
\right)
\end{align}\]
で与えられる。
[2] 正方行列 \( A \) の対称区分け \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{pp} \end{array} \right) \end{align}\] において、\( A \) が正則であるためには、\( A_{11} , \ A_{22} , \cdots , \ A_{pp} \) がすべて正則であることが必要十分条件であり、逆行列 \( A^{-1} \) は、 \[ \begin{align} A^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} ^{-1} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} ^{-1} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{pp} ^{-1} \end{array} \right) \end{align}\] で与えられる。
[2] 正方行列 \( A \) の対称区分け \[ \begin{align} A = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{pp} \end{array} \right) \end{align}\] において、\( A \) が正則であるためには、\( A_{11} , \ A_{22} , \cdots , \ A_{pp} \) がすべて正則であることが必要十分条件であり、逆行列 \( A^{-1} \) は、 \[ \begin{align} A^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} ^{-1} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} ^{-1} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{pp} ^{-1} \end{array} \right) \end{align}\] で与えられる。
[2] の定理において、\( A_{ii} \ \left( i = 1,2, \ldots , p \right)\) がすべての \( i \) について \( \left( 1,1 \right) \)
型行列であるなら、\( A \) は対角行列となります。
よって、次の定理も成り立ちます。
\[ \begin{align}
対角行列の正則性
\end{align}\]
対角行列 \( A \) が正則となるためには、すべての対角成分が 0 でないことが必要十分条件である。
カヤ
一見扱いが難しい行列も、区分けすることで計算を簡単にできたりするんだな。
ナユミ
時には上手に線引きするのも大事ってことね。
参考：
[1] 齋藤正彦、線型代数入門、東京大学出版会、1966年3月31日発行
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