目次
・周期関数
・区分的に連続
・フーリエ級数
・フーリエ正弦/余弦級数
・追記：複素数による表示
・追記：2重/多重フーリエ級数
カヤ
今回はフーリエ級数について解説しよう。まずは周期関数についてのおさらいから。
周期関数
\[ 周期関数\]
\( a \) を正の定数として、一変数関数 \( f(x) \) がすべての \( x \) に対して
\[ f(x+a) = f(x) \]
を満たすとき \( f(x) \) を周期 \( a \) の周期関数と呼ぶ。
周期関数の定義より、任意の自然数 \( n \) に対して、
\[ f \left( x + na \right) = f(x) \]
が成り立つため、周期 \( a \) の周期関数は \( na \) も周期として持ちます。
三角関数は周期関数です。また、定数関数 \( f(x) = C \) は任意の周期を持つ周期関数です。
三角関数は周期関数です。また、定数関数 \( f(x) = C \) は任意の周期を持つ周期関数です。
ナユミ
\( x \) 軸方向に \( a \) 進むたびに同じ関数値が繰り替えされるのね。
カヤ
そういうことだな。次は区分的に連続という用語について説明しよう。
区分的に連続
\[ 区分的に連続\]
一変数関数 \( f (x) \) は、有限なある実区間で有限個しか不連続点を持たないなら、その実区間で区分的に連続であるという。
不連続点 \( x \) において、右側からの極限値と左側からの極限値を、それぞれ
\[ \begin{align}
f \left( x + 0 \right) &= \lim _{\epsilon \to 0} f \left( x + \epsilon \right) \ \ \ \ \left( \epsilon
\gt 0 \right) \\\\
f \left( x - 0 \right) &= \lim _{\epsilon \to 0} f \left( x - \epsilon \right) \ \ \ \ \left( \epsilon
\gt 0 \right)
\end{align}\]
と表す。
ナユミ
部分的に途切れてるけど、それ以外は繋がってるってことね。
カヤ
そうだな。それじゃあフーリエ級数に入ろう。
フーリエ級数
\[ フーリエ級数\]
一変数関数 \( f (x) \) が次の (i)、(ii) の条件を満たすとする。
(i) \( f (x) \) は周期 \( 2L \) の周期関数
(ii) \( f (x) \) と \( f' (x) \) は実区間 \( (-L,L) \) で区分的に連続
このとき、 \[ \begin{align} a_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 0,1,2, \ldots \right) \\\\ b_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 1,2, \ldots \right) \end{align}\] として、 \[ \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \ \ \ \ldots (*)\] は、
(a) \( x \) が連続点のとき \( f(x) \)
(b) \( x \) が不連続点のとき \( \left\{ f(x+0) + f(x-0) \right\} / 2 \)
に収束する。\( a_n \) と \( b_n \) をフーリエ係数と呼び、\( (*) \) を \( f(x) \) に対するフーリエ級数と呼ぶ。
(i) \( f (x) \) は周期 \( 2L \) の周期関数
(ii) \( f (x) \) と \( f' (x) \) は実区間 \( (-L,L) \) で区分的に連続
このとき、 \[ \begin{align} a_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 0,1,2, \ldots \right) \\\\ b_n &= \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 1,2, \ldots \right) \end{align}\] として、 \[ \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \ \ \ \ldots (*)\] は、
(a) \( x \) が連続点のとき \( f(x) \)
(b) \( x \) が不連続点のとき \( \left\{ f(x+0) + f(x-0) \right\} / 2 \)
に収束する。\( a_n \) と \( b_n \) をフーリエ係数と呼び、\( (*) \) を \( f(x) \) に対するフーリエ級数と呼ぶ。
フーリエ級数は一変数関数 \( f(x) \) を三角関数の無限和で表すというものです。
上の主張をきちんと証明するのは少し手間がかかるので、ここでは触れません。
そのかわりに、周期 \( 2L \) を持つ一変数関数 \( f(x) \) が、
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi
x}{L}
\right) \ \ \ \ldots (*') \]
と表せると仮定したとき、\( f(x) \) からフーリエ係数を決める式を導くところを解説します。
準備として、三角関数の積分についての次の公式を導きます。
準備として、三角関数の積分についての次の公式を導きます。
(i) \( m \) が非負の整数なら、
\[ \int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} dx = \left\{ \begin{array}{l} 2L \ \ \ \left( m = 0 \right) \\ 0
\ \ \ \left( m = 1,2, \ldots \right) \end{array} \right. \ \ \ \ldots (1) \]
\[ \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} dx = 0 \ \ \ \left( m = 0,1,2 \ldots \right) \ \ \ \ldots (2) \]
(ii) \( m \) 、\( n \) が正の整数なら、
\[ \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx = 0 \ \ \ \ldots (3) \]
\[ \int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx = \left\{ \begin{array}{l} L \ \ \
\left( m = n \right) \\ 0 \ \ \ \left( m \neq n \right) \end{array} \right. \ \ \ \ldots (4) \]
\[ \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx = \left\{ \begin{array}{l} L \ \ \
\left( m = n \right) \\ 0 \ \ \ \left( m \neq n \right) \end{array} \right. \ \ \ \ldots (5) \]
まずは \( (1) \) を証明します。
\( m=0 \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} dx &= \int ^L _{-L} \cos 0 dx \\\\
&= \int ^L _{-L} 1 dx \\\\
&= \left[ x \right] ^L _{-L} \\\\
&= 2L
\end{align}\]
\( m=1,2,\ldots \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} dx &= \frac{L}{m \pi} \left[ \sin \frac{m \pi x}{L}\right] ^L _{-L}
\\\\
&= \frac{L}{m \pi} \left( \sin m \pi - \sin \left( - m \pi \right) \right) \\\\
&= \frac{L}{m \pi} \left( 0 - 0 \right) \\\\
&= 0
\end{align}\]
次に \( (2) \) を証明します。
\( m=0 \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} dx &= \int ^L _{-L} \sin 0 dx \\\\
&= \int ^L _{-L} 0 dx \\\\
&= 0
\end{align}\]
\( m=1,2,\ldots \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} dx &= - \frac{L}{m \pi} \left[ \cos \frac{m \pi x}{L}\right] ^L
_{-L} \\\\
&= - \frac{L}{m \pi} \left( \cos m \pi - \cos \left( - m \pi \right) \right) \\\\
&= - \frac{L}{m \pi} \left( \cos m \pi - \cos m \pi \right) \\\\
&= 0
\end{align}\]
次に \( (3) \) を証明します。
積を和に直す公式より、
\[ \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} = \frac{1}{2} \left\{ \sin \frac{\left( m + n \right)
\pi x}{L} + \sin \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} \]
よって、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx &= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \left\{ \sin
\frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} + \sin \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} dx \\\\
&= \frac{1}{2} \left\{ \int ^L _{-L} \sin \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} dx + \int ^L _{-L} \sin
\frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx \right\} \\\\
&= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \sin \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx
\end{align}\]
\( m \geq n \) なら、\( m - n \) は非負の整数となるため、
\[ \int ^L _{-L} \sin \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx = 0\]
\( m \lt n \) なら、\( m - n \) は負の整数となるため、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx = - \int ^L _{-L} \sin \frac{\left( n - m
\right) \pi x}{L} dx = 0
\end{align}\]
したがって、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx = 0
\end{align}\]
次に \( (4) \) を証明します。
積を和に直す公式より、
\[ \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} = \frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{\left( m + n \right)
\pi x}{L} + \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} \]
よって、\( m=n \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx &= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \left\{ \cos
\frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} + \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} dx \\\\
&= \frac{1}{2} \left\{ \int ^L _{-L} \cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} dx + \int ^L _{-L} \cos 0
dx \right\} \\\\
&= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} 1 dx \\\\
&= L
\end{align}\]
また、\( m \neq n \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx &= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \left\{ \cos
\frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} + \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} dx \\\\
&= \frac{1}{2} \left\{ \int ^L _{-L} \cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} dx + \int ^L _{-L} \cos
\frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx \right\} \\\\
&= 0
\end{align}\]
最後に \( (5) \) を証明します。
積を和に直す公式より、
\[ \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} = - \frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{\left( m + n \right)
\pi x}{L} - \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} \]
よって、\( m=n \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx &= - \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \left\{
\cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} - \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} dx \\\\
&= - \frac{1}{2} \left\{ \int ^L _{-L} \cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} dx - \int ^L _{-L} \cos
0 dx \right\} \\\\
&= \frac{1}{2} \int ^L _{-L} 1 dx \\\\
&= L
\end{align}\]
また、\( m \neq n \) なら、
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx &= - \frac{1}{2} \int ^L _{-L} \left\{
\cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} - \cos \frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} \right\} dx \\\\
&= - \frac{1}{2} \left\{ \int ^L _{-L} \cos \frac{\left( m + n \right) \pi x}{L} dx - \int ^L _{-L} \cos
\frac{\left( m - n \right) \pi x}{L} dx \right\} \\\\
&= 0
\end{align}\]
準備が長くなりましたが、以上の三角関数の定積分に関する性質を用いてフーリエ係数を求めていきます。
まずは、\( (*') \) の両辺に
\[ \cos \frac{m \pi x}{L} \ \ \ \left( m = 0,1,2, \ldots \right) \]
をかけて、\( x \) について \( -L \) から \( L \) まで積分します。
\[ \begin{align}
\int ^L _{-L} & f(x) \cos \frac{m \pi x}{L} dx = \frac{a_0}{2} \int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} dx
\\\\
& + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx +
b_n \int ^L _{-L} \cos \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx \right)
\end{align}\]
\( m=0 \) なら、上式の右辺は \( (1) \) 式、\( (3) \) 式、\( (4) \) 式から第1項のみが残り、その値は \( a_0 L \) となります。
また、\( m=1,2, \ldots \) なら、右辺は \( m=n \) のときのみかっこ内の一つ目の積分が残り、その値は \( a_m L \) となります。これらをまとめると、
\[ \int ^L _{-L} f(x) \cos \frac{m \pi x}{L} dx = a_m L \ \ \ \left( m = 0,1,2, \ldots \right) \]
となり、この式の両辺を \( L \) で割り \( m \) を \( n \) で置き換えればフーリエ係数 \( a_n \) を求める公式になります。
次は、\( (*') \) の両辺に \[ \sin \frac{m \pi x}{L} \ \ \ \left( m = 1,2, \ldots \right) \] をかけて、\( x \) について \( -L \) から \( L \) まで積分します。 \[ \begin{align} \int ^L _{-L} & f(x) \sin \frac{m \pi x}{L} dx = \frac{a_0}{2} \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} dx \\\\ & + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx + b_n \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx \right) \end{align}\] \( (2) \) 式より、右辺の第1項は0となります。かっこ内については \( (3) \) 式、\( (5) \) 式から二つ目の積分が \( m=n \) のときのみ残り、その値は \( b_m L \) となります。 よって、 \[ \int ^L _{-L} f(x) \sin \frac{m \pi x}{L} dx = b_m L \ \ \ \left( m = 1,2, \ldots \right) \] となり、この式の両辺を \( L \) で割り \( m \) を \( n \) で置き換えればフーリエ係数 \( b_n \) を求める公式になります。
次は、\( (*') \) の両辺に \[ \sin \frac{m \pi x}{L} \ \ \ \left( m = 1,2, \ldots \right) \] をかけて、\( x \) について \( -L \) から \( L \) まで積分します。 \[ \begin{align} \int ^L _{-L} & f(x) \sin \frac{m \pi x}{L} dx = \frac{a_0}{2} \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} dx \\\\ & + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \cos \frac{n \pi x}{L} dx + b_n \int ^L _{-L} \sin \frac{m \pi x}{L} \sin \frac{n \pi x}{L} dx \right) \end{align}\] \( (2) \) 式より、右辺の第1項は0となります。かっこ内については \( (3) \) 式、\( (5) \) 式から二つ目の積分が \( m=n \) のときのみ残り、その値は \( b_m L \) となります。 よって、 \[ \int ^L _{-L} f(x) \sin \frac{m \pi x}{L} dx = b_m L \ \ \ \left( m = 1,2, \ldots \right) \] となり、この式の両辺を \( L \) で割り \( m \) を \( n \) で置き換えればフーリエ係数 \( b_n \) を求める公式になります。
ナユミ
三角関数の計算で頭がクラクラしてきたわ。
カヤ
あと少し踏ん張ってくれ。次はフーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数についてだ。
フーリエ正弦/余弦級数
本題に入る前に、偶関数と奇関数という用語についてまとめておきます。
\[ 偶関数と奇関数\]
関数 \( y = f(x) \) について、\( f(-x) = f(x) \) ならば \( f(x) \) は偶関数であるといい、\( f(-x) = -f(x) \) ならば \(
f(x) \) は奇関数であるという。
偶関数同士の積、あるいは奇関数同士の積は偶関数となる。一方、偶関数と奇関数の積は奇関数となる。
\( g (x) \) を偶関数、\( h(x) \) を奇関数とすれば、任意の実区間 \( \left[-M,M \right] \) での定積分について、 \[ \begin{align} \int ^M _{-M} g(x) dx &= 2 \int ^M _{0} g(x) dx \\\\ \int ^M _{-M} h(x) dx &= 0 \end{align}\] が成り立つ。
\( g (x) \) を偶関数、\( h(x) \) を奇関数とすれば、任意の実区間 \( \left[-M,M \right] \) での定積分について、 \[ \begin{align} \int ^M _{-M} g(x) dx &= 2 \int ^M _{0} g(x) dx \\\\ \int ^M _{-M} h(x) dx &= 0 \end{align}\] が成り立つ。
周期 \( 2L \) を持つ周期関数 \( f(x) \) が偶関数または奇関数であるなら、フーリエ係数 \( a_n \) 、\( b_n \) のどちらか一方は0になります。
\( f(x) \) が偶関数なら、\( f(x) \sin \left( n \pi x/L \right)\) は奇関数になるため、
\[ b_n = \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx = 0\]
となります。よって、\( f(x) \) に対するフーリエ級数はコサインの項だけとなり、
\[ \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} a_n \cos \frac{n \pi x}{L} \]
\[ a_n = \frac{2}{L} \int ^L _{0} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 0,1,2, \ldots \right)
\]
となります。これをフーリエ余弦（コサイン）級数といいます。一方、\( f(x) \) が奇関数なら、\( f(x) \cos \left( n \pi x/L \right)\) は奇関数になるため、
\[ a_n = \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx = 0\]
となります。よって、\( f(x) \) に対するフーリエ級数はサインの項だけとなり、
\[ \sum ^{\infty} _{n=1} b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \]
\[ b_n = \frac{2}{L} \int ^L _{0} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \ \ \ \ \left( n = 1,2, \ldots \right) \]
となります。これをフーリエ正弦（サイン）級数といいます。
フーリエ正弦/余弦級数に関連する話題として関数の拡張があります。 実区間 \( \left[0,L \right] \) で定義された一変数関数 \( f(x) \) を周期 \( 2L \) の偶関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ余弦級数で与えられます。 これを半区間でのフーリエ余弦級数といいます。一方、奇関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ正弦級数で与えられます。 これを半区間でのフーリエ正弦級数といいます。
フーリエ級数は元々はフランスの数学者ジョセフ・フーリエによって熱伝導方程式（拡散方程式）を解く際に導入されたものです。 現在では熱伝導方程式に限らず、他の様々な問題を解くためにも用いられています。
フーリエ正弦/余弦級数に関連する話題として関数の拡張があります。 実区間 \( \left[0,L \right] \) で定義された一変数関数 \( f(x) \) を周期 \( 2L \) の偶関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ余弦級数で与えられます。 これを半区間でのフーリエ余弦級数といいます。一方、奇関数として拡張する場合、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、フーリエ正弦級数で与えられます。 これを半区間でのフーリエ正弦級数といいます。
フーリエ級数は元々はフランスの数学者ジョセフ・フーリエによって熱伝導方程式（拡散方程式）を解く際に導入されたものです。 現在では熱伝導方程式に限らず、他の様々な問題を解くためにも用いられています。
ジョセフ・フーリエ(1768-1830)
ナユミ
一つの関数の背後には無数の秩序立った三角関数が潜んでいるのね。
カヤ
まあ、そういう風に見ることもできるってことだな。
追記：複素数による表示
\[ フーリエ級数の複素数による表示\]
複素数を用いた三角関数の指数関数による表示を用いると、\( f(x) \) に対するフーリエ級数は、
\[ \begin{align}
\sum ^{\infty} _{n = - \infty} c_n e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) }
\end{align}\]
と表され、フーリエ係数は、
\[ \begin{align}
c_n = \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f(x) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx
\end{align}\]
と表される。
三角関数の指数関数による表示
\[ \begin{align}
\cos \theta &= \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \\\\
\sin \theta &= \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \\\\
\end{align}\]
を \( f(x) \) に対するフーリエ級数の公式に代入すると、
\[ \begin{align}
& \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L}
\right) \\\\
= & \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} +
e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) }}{2} + b_n \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} - e^{-i
\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}}{2i} \right) \\\\
= & \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left( a_n \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} +
e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) }}{2} - i b_n \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} -
e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)}}{2} \right) \\\\
= & \frac{a_0}{2} + \sum ^{\infty} _{n=1} \left\{ \frac{a_n - i b_n}{2} e^{i \left( \frac{n \pi x}{L}
\right)} + \frac{a_n + i b_n}{2} e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) } \right\} \\\\
\end{align}\]
よって、
\[ \begin{align}
c_0 &= \frac{a_0}{2} \\\\
c_n &= \frac{a_n - i b_n}{2} ,\ \ c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} \ \ \left( n = 1, 2, 3, \ldots \right)
\end{align}\]
とすれば、\( f(x) \) に対するフーリエ級数の公式は
\[ \begin{align}
\sum ^{\infty} _{n = - \infty} c_n e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right) }
\end{align}\]
と表されます。また、フーリエ係数の公式は、
\[ \begin{align}
c_n &= \frac{a_n - i b_n}{2} \\\\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx - \frac{i}{L} \int ^L
_{-L} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \right) \\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) \left( \cos \frac{n \pi x}{L} - i \sin \frac{n \pi x}{L} \right) dx
\\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) \left( \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} + e^{-i \left(
\frac{n \pi x}{L} \right)}}{2} - i \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} - e^{-i \left( \frac{n
\pi x}{L} \right)}}{2i} \right) dx \\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx \\\\
\end{align}\]
\[ \begin{align}
c_{-n} &= \frac{a_n + i b_n}{2} \\\\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{L} \int ^L _{-L} f (x) \cos \frac{n \pi x}{L} dx + \frac{i}{L} \int ^L
_{-L} f (x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx \right) \\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) \left( \cos \frac{n \pi x}{L} + i \sin \frac{n \pi x}{L} \right) dx
\\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) \left( \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} + e^{-i \left(
\frac{n \pi x}{L} \right)}}{2} + i \frac{e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} - e^{-i \left( \frac{n
\pi x}{L} \right)}}{2i} \right) dx \\\\
&= \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) e^{i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx
\end{align}\]
となることから、任意の整数 \( n \) について、
\[ \begin{align}
c_n = \frac{1}{2L} \int ^L _{-L} f (x) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx
\end{align}\]
と表されます。
カヤ
指数関数表記の方が式変形が楽なことがあるので、こちらの表記も覚えておくといいぞ。
ナユミ
わかったわ。
追記：2重/多重フーリエ級数
\[ 2重フーリエ級数\]
\( L_1 \) と \( L_2 \) を任意の正の定数とする。2変数関数 \( f \left( x, y \right) \) は任意の \( x \) および \( y \) について、
\[ \begin{align}
f \left( x + 2L_1, y \right) = f \left( x, y + 2L_2 \right) = f \left( x, y \right)
\end{align}\]
を満たすとする。このとき、\( f \left( x, y \right) \) に対する2重フーリエ級数を次式で定義する。
\[ \begin{align}
\sum _{m = - \infty} ^{\infty} \sum _{n = - \infty} ^{\infty} c_{nm} e^{i \left( \frac{n \pi x}{L_1}
+ \frac{m \pi y}{L_2} \right)}
\end{align}\]
また、2重フーリエ係数 \( c_{nm} \) は次式で定義する。
\[ \begin{align}
c_{nm} = \frac{1}{4 L_{1} L_{2}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{ \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y
\right) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L_1} + \frac{m \pi y}{L_2} \right)} dy \right\} dx
\end{align}\]
2重フーリエ級数はフーリエ級数を2変数関数に拡張したものです。
上の2重フーリエ級数の定義から出発して、2重フーリエ係数 \( c_{nm} \) の式を導いてみます。
まずは、2重フーリエ級数の \( x \) を変数としている部分を \[ \begin{align} g_m (x) = \sum _{n = - \infty} ^{\infty} c_{nm} e^{i \frac{n \pi x}{L_1}} \ \ \ \ldots ($1) \end{align}\] と置きます。すると、\( f \left( x, y \right) \) に対する2重フーリエ級数は、 \[ \begin{align} \sum _{m = - \infty} ^{\infty} g_m (x) e^{i \frac{m \pi y}{L_2} } \ \ \ \ldots ($2) \end{align}\] と表されます。\( x \) を固定して見た場合、\( ($2) \) 式は変数 \( y \) について1変数関数 \( f \left( x, y \right) \) に対するフーリエ級数とみなせるので、1変数関数のフーリエ係数の公式より、 \[ \begin{align} g_m (x) = \frac{1}{2L_2} \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y \right) e^{-i \frac{m \pi y}{L_2} } \ \ \ \ldots ($3) \end{align}\] が成り立ちます。一方、\( ($1) \) 式は変数 \( x \) についての1変数関数 \( g_m (x) \) に対するフーリエ級数とみなせるので、1変数関数のフーリエ係数の公式より、 \[ \begin{align} c_{nm} = \frac{1}{2L_1} \int ^{L_1} _{-L_1} g_m (x) e^{-i \frac{n \pi x}{L_1} } \ \ \ \ldots ($4) \end{align}\] が成り立ちます。\( ($4) \) 式に \( ($3) \) 式を代入すると、最終的な公式 \[ \begin{align} c_{nm} = \frac{1}{4 L_{1} L_{2}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{ \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y \right) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L_1} + \frac{m \pi y}{L_2} \right)} dy \right\} dx \end{align}\] を得ます。
同様の考えにより、任意の自然数 \( N \) について、\( N \) 変数関数のフーリエ級数も定義できます。
まずは、2重フーリエ級数の \( x \) を変数としている部分を \[ \begin{align} g_m (x) = \sum _{n = - \infty} ^{\infty} c_{nm} e^{i \frac{n \pi x}{L_1}} \ \ \ \ldots ($1) \end{align}\] と置きます。すると、\( f \left( x, y \right) \) に対する2重フーリエ級数は、 \[ \begin{align} \sum _{m = - \infty} ^{\infty} g_m (x) e^{i \frac{m \pi y}{L_2} } \ \ \ \ldots ($2) \end{align}\] と表されます。\( x \) を固定して見た場合、\( ($2) \) 式は変数 \( y \) について1変数関数 \( f \left( x, y \right) \) に対するフーリエ級数とみなせるので、1変数関数のフーリエ係数の公式より、 \[ \begin{align} g_m (x) = \frac{1}{2L_2} \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y \right) e^{-i \frac{m \pi y}{L_2} } \ \ \ \ldots ($3) \end{align}\] が成り立ちます。一方、\( ($1) \) 式は変数 \( x \) についての1変数関数 \( g_m (x) \) に対するフーリエ級数とみなせるので、1変数関数のフーリエ係数の公式より、 \[ \begin{align} c_{nm} = \frac{1}{2L_1} \int ^{L_1} _{-L_1} g_m (x) e^{-i \frac{n \pi x}{L_1} } \ \ \ \ldots ($4) \end{align}\] が成り立ちます。\( ($4) \) 式に \( ($3) \) 式を代入すると、最終的な公式 \[ \begin{align} c_{nm} = \frac{1}{4 L_{1} L_{2}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{ \int ^{L_2} _{-L_2} f \left( x, y \right) e^{-i \left( \frac{n \pi x}{L_1} + \frac{m \pi y}{L_2} \right)} dy \right\} dx \end{align}\] を得ます。
同様の考えにより、任意の自然数 \( N \) について、\( N \) 変数関数のフーリエ級数も定義できます。
\[ 多重フーリエ級数\]
\( L_1 , L_2 , \ldots , L_N \) を任意の正の定数とする。\( N \) 変数関数 \( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) \)
は任意の \( x_1, x_2 , \ldots , x_N \) について、
\[ \begin{align}
& \ \ \ \ \ \ f \left( x_1 + 2L_1, x_2 , \ldots , x_N \right) \\\\
&= f \left( x_1, x_2 + 2L_2 , \ldots , x_N \right) \\\\
& \ \ \cdots \cdots \cdots \\\\
&= f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N + 2L_N \right) = f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right)
\end{align}\]
を満たすとする。このとき、\( f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N \right) \) に対する \( n \) 重フーリエ級数を次式で定義する。
\[ \begin{align}
\sum _{n_N = - \infty} ^{\infty} \cdots \sum _{n_2 = - \infty} ^{\infty} \sum _{n_1 = - \infty}
^{\infty} c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} e^{i \sum _{i=1} ^N \frac{n_i \pi x_i}{L_i}}
\end{align}\]
また、\( n \) 重フーリエ係数 \( c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} \) は次式で定義する。
\[ \begin{align}
c_{n_{1} n_{2} \cdots n_{N}} = \frac{1}{2^N L_{1} L_{2} \cdots L_{N}} \int ^{L_1} _{-L_1} \left\{
\int ^{L_2} _{-L_2} \left\{ \cdots \left\{ \int ^{L_N} _{-L_N} f \left( x_1, x_2, \ldots , x_N
\right) e^{-i \sum _{i=1} ^N \frac{n_i \pi x_i}{L_i}} dx_{N} \right\} \cdots \right\} dx_2 \right\}
dx_1
\end{align}\]
ナユミ
わわわっ？ってなるわね♪
カヤ
……和だけにな。
参考：
[1] 和達三樹、物理のための数学 （物理入門コース10）、岩波書店、1983年3月14日発行
[2] Wikipedia フーリエ級数、https://ja.wikipedia.org/wiki/フーリエ級数、2024年4月5日閲覧
[3] Gerd Grubb、Fourier expansions in higher dimensions、https://web.math.ku.dk/~grubb/notes/four2a.pdf、2024年5月26日閲覧
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