第52話  様々な複素関数の微分

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証明：複素指数関数 \[ \begin{align} e^z = e^x \left( \cos y + i \sin y \right) \end{align}\] の実部を \( u \left( x,y \right) \) 、虚部を \( v \left( x,y \right) \) とすると、 \[ \begin{align} u \left( x,y \right) = e^x \cos y \\\\ v \left( x,y \right) = e^x \sin y \end{align}\] であり、Cauchy-Riemann の関係式 \[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y \\\\ \frac{\partial v}{\partial x} &= - \frac{\partial u}{\partial y} = e^x \sin y \end{align}\] が成り立つ。また、偏導関数の連続性については、 \[ \begin{align} 0 \leq \left| e^s \cos t - e^x \cos y \right| &= \left| \left( e^s \cos t - e^x \cos t \right) + \left( e^x \cos t - e^x \cos y \right) \right| \\\\ & \leq \left| e^s \cos t - e^x \cos t \right| + \left| e^x \cos t - e^x \cos y \right| \\\\ &= \left| \left( e^s - e^x \right) \cos t \right| + \left| e^x \left( \cos t - \cos y \right) \right| \\\\ &= \left| e^s - e^x \right| \left| \cos t \right| + e^x \left| \cos t - \cos y \right| \end{align}\] であり、 \[ \begin{align} &\lim _{s \to x} \left| e^s - e^x \right| = 0 \\\\ &\lim _{t \to y} \left| \cos t - \cos y \right| = 0 \end{align}\] が成り立つため、上記の不等式の最終行は \( \left( s,t \right) \to \left( x,y \right) \) の極限で 0 に収束する。 よって、 \[ \begin{align} \lim _{\left( s,t \right) \to \left( x,y \right)} \left| e^s \cos t - e^x \cos y \right| = 0 \end{align}\] が成り立つため、\( \partial u/ \partial x \) 、\( \partial v/ \partial y \) は \( \mathbb C \) の各点で連続である。 \( \partial u/ \partial y \) 、\( \partial v/ \partial x \) の連続性についても、同様に示せるため、 \( u \left( x,y \right) \) と \( v \left( x,y \right) \) は \( \mathbb C \) を定義域とする \( C^1 \) - 関数である。 従って、\( e^z \) は \( \mathbb C \) で正則であり、 \[ \begin{align} \left( e^z \right)' &= \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\\\ &= e^x \cos y + i e^x \sin y \\\\ &= e^z \end{align}\] となる。


補足：上の証明の中で、一実変数関数 \( e^x \) 、\( \cos y \) 、\( \sin y \) の連続性が成り立つことは証明なしで使っています。

証明： \( \sin z \) と \( \cos z \) はいずれも複素指数関数を定数倍して和を取ったものであるため、複素指数関数が \( \mathbb C \) で正則であることより、\( \sin z \) および \( \cos z \) も \( \mathbb C \) で正則である。 よって、複素指数関数の微分と合成関数の微分公式より、 \[ \begin{align} \left( \sin z \right)' &= \left( \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \right)' = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos z \\\\ \left( \cos z \right)' &= \left( \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \right)' = i \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} = \frac{- e^{iz} + e^{-iz}}{2i} = - \sin z \end{align}\]

　対数関数の微分を証明する準備として、二つの補題を証明します。

証明： \( \theta = \tan ^{-1} x \) とおく。
[1] \( x \gt 0 \) のとき
　\( x \gt 0 \) より、\( 0 \lt \theta \lt \pi/2 \) である。 そこで、\( \phi = \pi/2 - \theta \) とおくと、\( 0 \lt \phi \lt \pi/2 \) であるから、\( \tan \phi \) は \( x \gt 0 \) を満たす任意の \( x \) に対して定義され得る。 \[ \begin{align} \tan \phi &= \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \\\\ &= \cfrac{\sin \left( \cfrac{\pi}{2} - \theta \right)}{\cos \left( \cfrac{\pi}{2} - \theta \right)} \\\\ &= \cfrac{\sin \cfrac{\pi}{2} \cos \theta - \cos \cfrac{\pi}{2} \sin \theta}{\cos \cfrac{\pi}{2} \cos \theta + \sin \cfrac{\pi}{2} \sin \theta} \\\\ &= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\\\ &= \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{x} \end{align}\] であるから、 \[ \begin{align} \phi &= \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ \frac{\pi}{2} - \theta &= \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ \theta &= \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} \tan ^{-1} x &= \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{x} \end{align}\] が成り立つ。

[2] \( x \lt 0 \) のとき
　\( x \lt 0 \) より、\( - \pi/2 \lt \theta \lt 0 \) である。 そこで、\( \psi = \pi/2 + \theta \) とおくと、\( 0 \lt \psi \lt \pi/2 \) であるから、\( \tan \psi \) は \( x \lt 0 \) を満たす任意の \( x \) に対して定義され得る。 \[ \begin{align} \tan \psi &= \tan \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) \\\\ &= \cfrac{\sin \left( \cfrac{\pi}{2} + \theta \right)}{\cos \left( \cfrac{\pi}{2} + \theta \right)} \\\\ &= \cfrac{\sin \cfrac{\pi}{2} \cos \theta + \cos \cfrac{\pi}{2} \sin \theta}{\cos \cfrac{\pi}{2} \cos \theta - \sin \cfrac{\pi}{2} \sin \theta} \\\\ &= -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\\\ &= -\frac{1}{\tan \theta} = -\frac{1}{x} \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} - \tan \psi = \tan \left( - \psi \right) = \frac{1}{x} \end{align}\] であるから、 \[ \begin{align} -\psi &= \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ -\frac{\pi}{2} - \theta &= \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ \theta &= -\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{x} \\\\ \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} \tan ^{-1} x &= -\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{x} \end{align}\] が成り立つ。

証明：逆三角関数の微分公式より、 \[ \begin{align} \frac{1}{1+t^2} &= \left( \tan ^{-1} t \right)' \\\\ \int _0 ^x \frac{1}{1+t^2} dt &= \int _0 ^x \left( \tan ^{-1} t \right)' dt \\\\ &= \left[ \tan ^{-1} t \right] _0 ^x \\\\ &= \tan ^{-1} x - \tan ^{-1} 0 = \tan ^{-1} x \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} \tan ^{-1} x &= \int _0 ^x \frac{1}{1+t^2} dt \\\\ &= \int _0 ^x \left( 1 - \frac{t^2}{1+t^2} \right) dt \\\\ &= x - \int _0 ^x \frac{t^2}{1+t^2} dt \end{align}\] また、積分部については、 \[ \begin{align} 0 \leq \cfrac{t^2}{1+t^2} \leq t^2 \end{align}\] であるから、 \[ \begin{align} \left| \int _0 ^x \frac{t^2}{1+t^2} dt \right| & \leq \left| \int _0 ^x t^2 dt \right| \\\\ &= \left| \left[ \frac{t^3}{3} \right] _0 ^x \right| \\\\ &= \left| \frac{x^3}{3} \right| = \frac{\left| x^3 \right|}{3} \end{align}\]

対数関数の微分公式の証明：
　対数関数は、 \[ \begin{align} \log z &= \ln \left| z \right| + i \arg z \\\\ &= \ln \sqrt{x^2 + y^2} + i \arg z \\\\ &= \cfrac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) + i \arg z \ \ \ \ \left( z \neq 0 , -\pi \lt \arg z \lt \pi \right) \end{align}\] と表せる。ここで、\( \arg z \) は、 \[ \arg z = \begin{cases} \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right), & x \gt 0, \\\\ \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi, & x \lt 0,\ y \gt 0, \\\\ \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) - \pi, & x \lt 0,\ y \lt 0, \\\\ \cfrac{\pi}{2}, & x = 0, y \gt 0, \\\\ -\cfrac{\pi}{2}, & x = 0, y \lt 0 \end{cases} \] と表せるため、以下では \( x,y \) の範囲ごとに場合分けして考える。

[1] \( x \gt 0 \) の場合 \[ \begin{align} \log z = \cfrac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) + i \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) \end{align}\] ここで、 \[ \begin{align} u \left( x,y \right) &= \cfrac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) \\\\ v \left( x,y \right) &= \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) \end{align}\] とおくと、 \[ \begin{align} \cfrac{\partial u}{\partial x} &= \cfrac{\partial v}{\partial y} = \cfrac{x}{x^2+y^2} \\\\ \cfrac{\partial u}{\partial y} &= - \cfrac{\partial v}{\partial x} = \cfrac{y}{x^2+y^2} \end{align}\] となり、Cauchy-Riemann の関係式が成り立つ。また、偏導関数の連続性については、 \[ \begin{align} \left| \cfrac{s}{s^2+t^2} - \cfrac{x}{x^2+y^2} \right| &= \left| \cfrac{s \left( x^2+y^2 \right) - x \left( s^2+t^2\right)}{\left( s^2+t^2 \right) \left( x^2+y^2 \right)} \right| \\\\ &= \left| \cfrac{\left( s-x \right) \left( x^2+y^2 \right) - x \left\{ \left( s^2 - x^2 \right) + \left( t^2 - y^2 \right) \right\}}{\left( s^2+t^2 \right) \left( x^2+y^2 \right)} \right| \\\\ \end{align}\] であり、 \[ \begin{align} &\lim _{s \to x} \left( s - x \right) = 0 \\\\ &\lim _{s \to x} \left( s^2 - x^2 \right) = 0, \ \lim _{t \to y} \left( t^2 - y^2 \right) = 0 \end{align}\] が成り立つため、上記の不等式の最終行は \( \left( s,t \right) \to \left( x,y \right) \) の極限で 0 に収束する。 よって、 \[ \begin{align} \lim _{\left( s,t \right) \to \left( x,y \right)} \left| \cfrac{s}{s^2+t^2} - \cfrac{x}{x^2+y^2} \right| = 0 \end{align}\] が成り立つため、\( \partial u/ \partial x \) 、\( \partial v/ \partial y \) は領域 \( D = \left\{ \left( x,y \right) | x \gt 0, \ - \infty \lt y \lt \infty \right\} \) の各点で連続である。 \( \partial u/ \partial y \) 、\( \partial v/ \partial x \) の連続性についても、同様に示せるため、 \( u \left( x,y \right) \) と \( v \left( x,y \right) \) は \( D \) を定義域とする \( C^1 \) - 関数である。 従って、\( \log z \) は \( D \) で正則であり、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' &= \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\\\ &= \cfrac{x}{x^2+y^2} - \cfrac{iy}{x^2+y^2} \\\\ &= \cfrac{x-iy}{\left( x+iy\right)\left( x-iy\right)} \\\\ &= \cfrac{1}{x+iy} = \cfrac{1}{z} \end{align}\] となる。


[2] \( x \lt 0,\ y \gt 0 \) の場合 \[ \begin{align} \log z = \cfrac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) + i \left\{ \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi \right\} \end{align}\] ここで、 \[ \begin{align} u \left( x,y \right) &= \cfrac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) \\\\ v \left( x,y \right) &= \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi \end{align}\] とおくと、 \[ \begin{align} \cfrac{\partial u}{\partial x} &= \cfrac{\partial v}{\partial y} = \cfrac{x}{x^2+y^2} \\\\ \cfrac{\partial u}{\partial y} &= - \cfrac{\partial v}{\partial x} = \cfrac{y}{x^2+y^2} \end{align}\] となり、[1] と同様の議論により、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' = \cfrac{1}{z} \end{align}\] となる。


[3] \( x \lt 0,\ y \lt 0 \) の場合
　[2] と同様の議論により、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' = \cfrac{1}{z} \end{align}\] となる。


[4] \( x = 0, y \gt 0 \) の場合 \[ \begin{align} \log z = \ln y + i \cfrac{\pi}{2} \end{align}\] ここで、 \[ \begin{align} u \left( x,y \right) = \ln y , \quad v \left( x,y \right) = \cfrac{\pi}{2} \end{align}\] とおくと、 \[ \begin{align} \cfrac{\partial u}{\partial x} = 0 ,\quad \cfrac{\partial u}{\partial y} = \cfrac{1}{y} \end{align}\] となる。
　続いて、\( \partial v / \partial x \) を求める。 まず、\( x \) を正の側から 0 に近づけたときの極限を考える。\( h \gt 0 \) とする。 \[ \begin{align} \lim _{h \to 0} \cfrac{\tan ^{-1} \cfrac{y}{h} - \cfrac{\pi}{2}}{h} &= \lim _{h \to 0} \cfrac{-\tan ^{-1} \cfrac{h}{y}}{h} \\\\ &= \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \left\{ - \cfrac{h}{y} + \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt \right\} \\\\ &= - \cfrac{1}{y} + \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt \end{align}\] ここで、 \[ \begin{align} \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt & \leq \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \left| \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt \right| \\\\ & \leq \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \cdot \cfrac{1}{3} \cdot \left| \cfrac{h^3}{y^3} \right| \\\\ &= \lim _{h \to 0} \cfrac{h^2}{3 \left| y^3 \right|} = 0 \end{align}\] であるから、 \[ \begin{align} \lim _{h \to 0} \cfrac{\tan ^{-1} \cfrac{y}{h} - \cfrac{\pi}{2}}{h} = - \cfrac{1}{y} \end{align}\] となる。 次に、\( x \) を負の側から 0 に近づけたときの極限を考える。\( h \gt 0 \) とする。 \[ \begin{align} \lim _{h \to 0} \cfrac{\tan ^{-1} \cfrac{y}{\left( -h \right)} + \pi - \cfrac{\pi}{2}}{\left( -h \right)} &= \lim _{h \to 0} \cfrac{-\tan ^{-1} \cfrac{\left( -h \right)}{y}}{\left( -h \right)} \\\\ &= \lim _{h \to 0} \cfrac{\tan ^{-1} \cfrac{h}{y}}{\left( -h \right)} \\\\ &= \lim _{h \to 0} - \cfrac{1}{h} \left\{\cfrac{h}{y} - \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt \right\} \\\\ &= - \cfrac{1}{y} + \lim _{h \to 0} \cfrac{1}{h} \int _0 ^{\cfrac{h}{y}} \cfrac{t^2}{1+t^2} dt \end{align}\] よって、先程と同様の議論により、 \[ \begin{align} \lim _{h \to 0} \cfrac{\tan ^{-1} \cfrac{y}{\left( -h \right)} + \pi - \cfrac{\pi}{2}}{\left( -h \right)} = - \cfrac{1}{y} \end{align}\] となる。従って、左右の極限が一致するため、偏導関数は存在し、 \[ \begin{align} \cfrac{\partial v}{\partial x} = - \cfrac{1}{y} \end{align}\] となる。
　\( \partial v / \partial y \) については、\( y \) 軸上で \( y \) の値をわずかに変化させても、原点を超えない限り \( \arg z \) の値は \( \cfrac{\pi}{2} \) で変わらないため、 \[ \begin{align} \cfrac{\partial v}{\partial y} = \lim _{h \to 0} \cfrac{ \cfrac{\pi}{2} - \cfrac{\pi}{2}}{h} = \lim _{h \to 0} \cfrac{ \cfrac{\pi}{2} - \cfrac{\pi}{2}}{\left( -h \right)} = 0 \end{align}\] となる。よって、 \[ \begin{align} & \cfrac{\partial u}{\partial x} = \cfrac{\partial v}{\partial y} = 0 \\\\ & \cfrac{\partial u}{\partial y} = - \cfrac{\partial v}{\partial x} = \cfrac{1}{y} \end{align}\] となり、Cauchy-Riemann の関係式が成り立つ。また、偏導関数の連続性については、 \[ \begin{align} &\lim _{s \to 0} \left( s - 0 \right) = 0 \\\\ &\lim _{t \to y} \left( \cfrac{1}{t} - \cfrac{1}{y} \right) = 0 \end{align}\] が成り立つため、\( \partial u / \partial x \) 、\( \partial u / \partial y \) 、\( \partial v / \partial x \) 、\( \partial v / \partial y \) は領域 \( D = \left\{ \left( x,y \right) | x = 0, \ 0 \lt y \lt \infty \right\} \) の各点で連続である。 よって、\( u \left( x,y \right) \) と \( v \left( x,y \right) \) は \( D \) を定義域とする \( C^1 \) - 関数である。 従って、\( \log z \) は \( D \) で正則であり、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' &= \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\\\ &= 0 - \cfrac{i}{y} \\\\ &= - \cfrac{i}{y} \\\\ &= \cfrac{1}{iy} = \cfrac{1}{z} \end{align}\] となる。


[5] \( x = 0, y \lt 0 \) の場合
　[4] と同様の議論により、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' = \cfrac{1}{z} \end{align}\] となる。


　[1] ～ [5] より、\( z = 0 \) を除く任意の複素数 \( z \) に対して、 \[ \begin{align} \left( \log z \right)' = \cfrac{1}{z} \end{align}\] が成り立つ。


補足：上の証明の中で、一実変数関数 \( x \) 、\( x^2 \) 、\( y^2 \) 、\( 1/y \) の連続性が成り立つことは証明なしで使っています。

証明：\( \zeta \left( w \right) = e^w \) 、\( w \left( z \right) = z \cdot \log a \) とおくと、\( \zeta \left( w \right) \) および \( w \left( z \right) \) は \( \mathbb C \) で正則であるため、合成関数 \[ \begin{align} a^z = \zeta \left( w \left( z \right) \right) = e^{z \cdot \log a} \end{align}\] は \( \mathbb C \) で正則である。よって、複素指数関数の微分と合成関数の微分公式より、 \[ \begin{align} \left( a^z \right)' &= \left( e^{z \cdot \log a} \right)' \\\\ &= e^{z \cdot \log a} \cdot \left( z \cdot \log a \right)' \\\\ &= e^{z \cdot \log a} \cdot \log a \cdot \left( z \right)' \\\\ &= a^z \log a \end{align}\]

証明：\( \zeta \left( w \right) = e^w \) 、\( w \left( z \right) = a \cdot \log z \) とおくと、\( \zeta \left( w \right) \) および \( w \left( z \right) \) は \( z = 0 \) を除いて \( \mathbb C \) で正則であるため、合成関数 \[ \begin{align} z^a = \zeta \left( w \left( z \right) \right) = e^{a \cdot \log z} \end{align}\] は \( \mathbb C \) で正則である。よって、複素指数関数および対数関数の微分と合成関数の微分公式より、 \[ \begin{align} \left( z^a \right)' &= \left( e^{a \cdot \log z} \right)' \\\\ &= e^{a \cdot \log z} \cdot \left( a \cdot \log z \right)' \\\\ &= e^{a \cdot \log z} \cdot \cfrac{a}{z} \\\\ &= ae^{a \cdot \log z} \cdot e^{- \log z} \\\\ &= ae^{\left( a-1 \right) \cdot \log z} = az^{a-1} \end{align}\]