目次
・全微分
・連鎖律
・2 変数平均値の定理
カヤ
今回は全微分と連鎖律、2 変数平均値の定理について解説していく。まずは、全微分から。
全微分
\[ \text{全微分可能} \]
2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) が点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能とは、ある \( \delta \gt 0
\) が存在して、点 \( \alpha \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部
\[ \begin{align}
U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 +
\left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\}
\end{align}\]
において、\( f \left( x,y \right) \) が次のように書けることである。
\[ \begin{align}
f \left( x,y \right) = f & \left( a,b \right) + (x-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b
\right) \\\\
&+ (y-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y
\right)
\end{align}\]
ここで、\( C \left( x,y \right) \) は \( U \left( \alpha , \delta \right) \) において定義され、\( \left( a,b \right)
\) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす 2 変数関数である。
また、
\[ \begin{align}
\rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 }
\end{align}\]
である。
全微分可能に関して、次の 2 つの定理が成り立ちます。
[1] \( f \left( x,y \right) \) が点 \( \left( a,b \right) \) で全微分可能ならば、\( f \left( x,y \right) \) は点 \(
\left( a,b \right) \) で連続である。
[2] 2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) を \( C^1 \) - 関数とし、その定義域を \( D \) とする。 \( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) に対して、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、\( \alpha \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\} \end{align}\] について、\( U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \) が成り立つとする。 このとき、\( f \left( x,y \right) \) は \( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能である。
[2] 2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) を \( C^1 \) - 関数とし、その定義域を \( D \) とする。 \( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) に対して、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、\( \alpha \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\} \end{align}\] について、\( U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \) が成り立つとする。 このとき、\( f \left( x,y \right) \) は \( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能である。
[1] の証明：\( f \left( x,y \right) \) が点 \( \left( a,b \right) \) で全微分可能であるから、
\[ \begin{align}
\lim _{( x , y ) \to ( a , b )} f (x , y ) &= \lim _{( x , y ) \to ( a , b )} \left\{ f \left( a,b
\right) + (x-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \right. \\\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. + \ (y-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left(
x,y \right) C \left( x,y
\right) \right\} \\\\
&= f \left( a,b \right)
\end{align}\]
[2] の証明： \( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、\( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) について、 \( 0 \leq \theta , \phi \leq 1 \ \) を満たす任意の \( \theta \) および \( \phi \) について、 \[ \begin{align} \left( a + \theta s,b + \phi t \right) \subset U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \end{align}\] である。よって、\( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、 \[ \begin{align} f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b \right) = & \left\{ f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) \right\} \\\\ & + \left\{ f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) \right\} \end{align}\] の右辺の \( \left\{ \right\} \) 内の部分に平均値の定理を用いると、 \[ \begin{align} & f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) = s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) \\\\ & f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) = t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) \end{align}\] となる \( \theta _1 , \phi _1 \ \left( 0 \leq \theta _1 , \phi _1 \leq 1 \right) \ \) が存在する。 また、\( f \left( x,y \right) \) が \( C^1 \) - 関数であることから、 \[ \begin{align} & u \left( s,t \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) - \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \\\\ & v \left( s,t \right) = \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) - \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \end{align}\] とおくと、偏導関数の連続性により、 \[ \begin{align} \lim _{( s , t ) \to ( 0 , 0 )} u (s , t ) &= 0 \\\\ \lim _{( s , t ) \to ( 0 , 0 )} v (s , t ) &= 0 \end{align}\] が成り立つ。そこで、 \[ C \left( x,y \right) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\left( x - a\right) u \left( x-a, y-b\right) + \left( y-b \right) v \left( x-a , y-b \right)}{\sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 }} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \left( x,y \right) \neq \left( a,b \right) \right), \\[1em] \displaystyle 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \left( x,y \right) = \left( a,b \right) \right) \end{cases} \] とすれば、\( C \left( x,y \right) \) は \( \left( a,b \right) \) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす。 従って、\( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \end{align}\] とおき、また、\( a + s = x \) 、\( b + t = y \) とすると、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) &= \left( x - a \right) u \left( x-a, y-b\right) + \left( y-b \right) v \left( x-a , y-b \right) \\\\ &= s u \left( s, t\right) + t v \left( s , t \right) \\\\ &= s \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) - \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + t \left\{ \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) - \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \right\} \\\\ &= f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) - s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) - t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \\\\ &= f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b \right) - s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) - t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \\\\ &= f \left( x,y \right) - f \left( a,b \right) - \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) - \left( y-b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) = f \left( a,b \right) + \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) + \left( y - b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \end{align}\] となり、これは \( f \left( x,y \right) \) が点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能であることを示しています。
[2] の証明： \( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、\( D \) 上の任意の点 \( \alpha \left( a,b \right) \) について、 \( 0 \leq \theta , \phi \leq 1 \ \) を満たす任意の \( \theta \) および \( \phi \) について、 \[ \begin{align} \left( a + \theta s,b + \phi t \right) \subset U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \end{align}\] である。よって、\( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、 \[ \begin{align} f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b \right) = & \left\{ f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) \right\} \\\\ & + \left\{ f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) \right\} \end{align}\] の右辺の \( \left\{ \right\} \) 内の部分に平均値の定理を用いると、 \[ \begin{align} & f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) = s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) \\\\ & f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) = t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) \end{align}\] となる \( \theta _1 , \phi _1 \ \left( 0 \leq \theta _1 , \phi _1 \leq 1 \right) \ \) が存在する。 また、\( f \left( x,y \right) \) が \( C^1 \) - 関数であることから、 \[ \begin{align} & u \left( s,t \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) - \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \\\\ & v \left( s,t \right) = \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) - \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \end{align}\] とおくと、偏導関数の連続性により、 \[ \begin{align} \lim _{( s , t ) \to ( 0 , 0 )} u (s , t ) &= 0 \\\\ \lim _{( s , t ) \to ( 0 , 0 )} v (s , t ) &= 0 \end{align}\] が成り立つ。そこで、 \[ C \left( x,y \right) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\left( x - a\right) u \left( x-a, y-b\right) + \left( y-b \right) v \left( x-a , y-b \right)}{\sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 }} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \left( x,y \right) \neq \left( a,b \right) \right), \\[1em] \displaystyle 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \left( x,y \right) = \left( a,b \right) \right) \end{cases} \] とすれば、\( C \left( x,y \right) \) は \( \left( a,b \right) \) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす。 従って、\( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \end{align}\] とおき、また、\( a + s = x \) 、\( b + t = y \) とすると、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) &= \left( x - a \right) u \left( x-a, y-b\right) + \left( y-b \right) v \left( x-a , y-b \right) \\\\ &= s u \left( s, t\right) + t v \left( s , t \right) \\\\ &= s \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta _1 s , b + t \right) - \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + t \left\{ \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b + \phi _1 t \right) - \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \right\} \\\\ &= f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b + t \right) - s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + f \left( a,b+t \right) - f \left( a,b \right) - t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \\\\ &= f \left( a+s,b+t \right) - f \left( a,b \right) - s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) - t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \\\\ &= f \left( x,y \right) - f \left( a,b \right) - \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) - \left( y-b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) = f \left( a,b \right) + \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a , b \right) + \left( y - b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a , b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \end{align}\] となり、これは \( f \left( x,y \right) \) が点 \( \alpha \left( a,b \right) \) で全微分可能であることを示しています。
上の定理 [2] の証明における最後の式で、右辺の \( f \left( a,b \right) \) を左辺に移項すると、 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) - f \left( a,b \right) &= \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) + \left( y - b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \\\\ &= \left( x - a \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) + u \left( s, t\right) \right\} + \left( y - b \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + v \left( s , t \right) \right\} \end{align}\] となります。ここで、\( \left( s,t \right) \to \left( 0,0 \right) \) のとき、\( u \left( s, t\right) \) 、\( v \left( s , t \right) \) はいずれも \( \left( 0,0 \right) \) に収束することから、およそ \[ \begin{align} f \left( x,y \right) - f \left( a,b \right) \cong \left( x - a \right) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) + \left( y - b \right) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) \end{align}\] と近似することができます。そこで、この式の形から、 \[ \begin{align} df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{align}\] と書き、\( df \) を \( f \left( x,y \right) \) の全微分と呼びます。
カヤ
続いて、連鎖律を見ていこう。
連鎖律
\[ \begin{align}
\text{連鎖律}
\end{align}\]
\( f \left( x,y \right) \) を 2 変数の \( C^1 \) - 関数、\( x = \phi \left( t \right) \) 、\( y = \psi \left( t
\right) \) を 1 変数の \( C^1 \) - 関数とする。
このとき、合成関数 \( f \left( \phi \left( t \right) , \psi \left( t \right) \right) \) は 1 変数の \( C^1 \) -
関数であり、次式が成り立つ。
\[ \begin{align}
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}
\frac{dy}{dt}
\end{align}\]
連鎖律の証明：\( t=c \) で
\[ \begin{align}
x = \phi \left( c \right) = a \\\\
y = \psi \left( c \right) = b
\end{align}\]
とします。微分可能性の同値条件より、ある \( \delta _1 \gt 0 \) が存在して、実区間 \( \left( c - \delta _1 , c + \delta _1 \right) \)
において、
\[ \begin{align}
\phi \left( t \right) - a = \phi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + A \left( t \right) \left( t -
c \right) \ \ldots (1)
\end{align}\]
が成り立ちます。
ここで、\( A \left( t \right) \) は \( \left( c - \delta _1 , c + \delta _1
\right) \) で定義された関数で、\( t=c \) で連続で、\( A \left( c \right) = 0\) を満たすものです。
同様に、ある \( \delta _2 \gt 0 \) が存在して、実区間 \( \left( c - \delta _2 , c + \delta _2 \right) \)
において、
\[ \begin{align}
\psi \left( t \right) - b = \psi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + B \left( t \right) \left( t -
c \right) \ \ldots (2)
\end{align}\]
が成り立ちます。ここで、\( B \left( t \right) \) は \( \left( c - \delta _2 , c + \delta _2
\right) \) で定義された関数で、\( t=c \) で連続で、\( B \left( c \right) = 0\) を満たすものです。
一方、前節の定理 [2] より、\( f \left( x,y \right) \) は点 \( \alpha \left( a , b \right) \) で全微分可能であるため、 ある \( \delta _3 \gt 0\) が存在して、点 \( \alpha \) 中心、半径 \( \delta _3 \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta _3 \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta _3 \right\} \end{align}\] において、 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) = f & \left( a,b \right) + (x-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ &+ (y-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \ \ldots (3) \end{align}\] と書けます。ここで、\( C \left( x,y \right) \) は \( U \left( \alpha , \delta _3 \right) \) において定義され、\( \left( a,b \right) \) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす 2 変数関数です。 また、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \end{align}\] です。\( \delta _1 \) 、\( \delta _2 \) 、\( \delta _3 \) の中で最も小さいものを \( \delta _m \) とすれば、\( U \left( \alpha , \delta _m \right) \) において書いた \( (3) \) 式には \( (1) \) 式と \( (2) \) 式を代入できるので、 \[ \begin{align} f \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) &= f \left( a,b \right) + (\phi \left( t \right)-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ + (\psi \left( t \right)-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \\\\ &= f \left( a,b \right) + \left\{ \phi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + A \left( t \right) \left( t - c \right) \right\} \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ + \left\{ \psi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + B \left( t \right) \left( t - c \right) \right\} \frac{\partial f}{\partial y} \\\\ & \ \ \ \ \ + \left( t - c \right) \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \\\\ &= f \left( a,b \right) + \left( t - c \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \phi ' \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) \psi ' \left( c \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ + \left( t - c \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) A \left( t \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) B \left( t \right) + D \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots (4) \end{align}\] となります。ここで、 \[ \begin{align} & \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) = \sqrt{\left( \phi ' \left( c \right) + A \left( t \right) \right)^2 + \left( \psi ' \left( c \right) + B \left( t \right) \right)^2 } \\\\ & D \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) = \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \end{align}\] と置きました。\( (4) \) 式と微分可能性の同値条件より、 \[ \begin{align} f ' \left( c \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \phi ' \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) \psi ' \left( c \right) \end{align}\] すなわち、 \[ \begin{align} \frac{df}{dt} \left( c \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( c \right) \frac{dx}{dt} \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( c \right) \frac{dy}{dt} \left( c \right) \ \ldots (5) \end{align}\] が成り立ちます。\( c \) は \( f \) の定義域上の任意の値であるため、題意の式が成り立ちます。 また、\( (5) \) 式の右辺は連続関数であるため、合成関数 \( f \left( \phi \left( t \right) , \psi \left( t \right) \right) \) は 1 変数の \( C^1 \) - 関数となります。
一方、前節の定理 [2] より、\( f \left( x,y \right) \) は点 \( \alpha \left( a , b \right) \) で全微分可能であるため、 ある \( \delta _3 \gt 0\) が存在して、点 \( \alpha \) 中心、半径 \( \delta _3 \) の円の内部 \[ \begin{align} U \left( \alpha , \delta _3 \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \lt \delta _3 \right\} \end{align}\] において、 \[ \begin{align} f \left( x,y \right) = f & \left( a,b \right) + (x-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ &+ (y-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( x,y \right) C \left( x,y \right) \ \ldots (3) \end{align}\] と書けます。ここで、\( C \left( x,y \right) \) は \( U \left( \alpha , \delta _3 \right) \) において定義され、\( \left( a,b \right) \) で連続で、\( C \left( a,b \right) = 0 \) を満たす 2 変数関数です。 また、 \[ \begin{align} \rho \left( x,y \right) = \sqrt{ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 } \end{align}\] です。\( \delta _1 \) 、\( \delta _2 \) 、\( \delta _3 \) の中で最も小さいものを \( \delta _m \) とすれば、\( U \left( \alpha , \delta _m \right) \) において書いた \( (3) \) 式には \( (1) \) 式と \( (2) \) 式を代入できるので、 \[ \begin{align} f \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) &= f \left( a,b \right) + (\phi \left( t \right)-a) \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ + (\psi \left( t \right)-b) \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) + \rho \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \\\\ &= f \left( a,b \right) + \left\{ \phi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + A \left( t \right) \left( t - c \right) \right\} \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \\\\ & \ \ \ \ \ + \left\{ \psi ' \left( c \right) \left( t - c \right) + B \left( t \right) \left( t - c \right) \right\} \frac{\partial f}{\partial y} \\\\ & \ \ \ \ \ + \left( t - c \right) \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \\\\ &= f \left( a,b \right) + \left( t - c \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \phi ' \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) \psi ' \left( c \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ + \left( t - c \right) \left\{ \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) A \left( t \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) B \left( t \right) + D \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \right\} \\\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots (4) \end{align}\] となります。ここで、 \[ \begin{align} & \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) = \sqrt{\left( \phi ' \left( c \right) + A \left( t \right) \right)^2 + \left( \psi ' \left( c \right) + B \left( t \right) \right)^2 } \\\\ & D \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) = \sigma \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) C \left( \phi \left( t \right),\psi \left( t \right) \right) \end{align}\] と置きました。\( (4) \) 式と微分可能性の同値条件より、 \[ \begin{align} f ' \left( c \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( a,b \right) \phi ' \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a,b \right) \psi ' \left( c \right) \end{align}\] すなわち、 \[ \begin{align} \frac{df}{dt} \left( c \right) = \frac{\partial f}{\partial x} \left( c \right) \frac{dx}{dt} \left( c \right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left( c \right) \frac{dy}{dt} \left( c \right) \ \ldots (5) \end{align}\] が成り立ちます。\( c \) は \( f \) の定義域上の任意の値であるため、題意の式が成り立ちます。 また、\( (5) \) 式の右辺は連続関数であるため、合成関数 \( f \left( \phi \left( t \right) , \psi \left( t \right) \right) \) は 1 変数の \( C^1 \) - 関数となります。
ナユミ
これは合成関数の微分ってことかな？
カヤ
その通りだな。最後に、連鎖律を使って 2 変数平均値の定理を証明しておこう。
2 変数平均値の定理
\[ \begin{align}
\text{2 変数平均値の定理}
\end{align}\]
2 変数関数 \( f \left( x,y \right) \) を \( C^1 \) - 関数とし、その定義域を \( D \) とする。
ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、点 \( \alpha \left( a,b \right) \) 中心、半径 \( \delta \) の円の内部
\[ \begin{align}
U \left( \alpha , \delta \right) = \left\{ \left( x,y \right) \ | \ \sqrt{ \left( x - a \right)^2 +
\left( y - b \right)^2 } \lt \delta \right\}
\end{align}\]
について、\( U \left( \alpha , \delta \right) \subset D \) が成り立つとする。
このとき、\( \left( a + s, b + t \right) \in U \left( \alpha , \delta \right) \) を満たす各点 \( \left( s,t \right)
\) に対して、\( \theta \ \left( 0 \lt \theta \lt 1 \right) \) が存在して、次式が成り立つ。
\[ \begin{align}
f \left( a + s, b + t \right) = f \left( a, b \right) + s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a +
\theta s , b + \theta t \right) + t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a + \theta s , b + \theta t
\right)
\end{align}\]
2 変数平均値の定理の証明：定理の条件を満たす \( \left( s, t \right) \) について、\( u \) を \( 0 \leq u \leq 1 \) で動く変数とし、\( u \) の関数
\[ \begin{align}
g(u) = f \left( a + su , b + tu \right)
\end{align}\]
に平均値の定理を用いると、
\[ \begin{align}
\frac{g(1) - g(0)}{1-0} &= g' \left( \theta \right) \\\\
f \left( a + s \cdot 1 , b + t \cdot 1 \right) - f \left( a + s \cdot 0, b + t \cdot 0 \right) &= f'
\left( a + \theta s, b + \theta t \right) \\\\
f \left( a + s , b + t \right) &= f \left( a , b \right) + f' \left( a + \theta s, b + \theta t \right)
\end{align}\]
この式の右辺に連鎖律を用いると、
\[ \begin{align}
f \left( a + s , b + t \right) &= f \left( a , b \right) + \frac{\partial f}{\partial x} \left( a +
\theta s, b + \theta t \right) \frac{dx}{du} + \frac{\partial f}{\partial y} \left( a + \theta s, b +
\theta t \right) \frac{dy}{du} \\\\
&= f \left( a , b \right) + s \frac{\partial f}{\partial x} \left( a + \theta s, b + \theta t \right) +
t \frac{\partial f}{\partial y} \left( a + \theta s, b + \theta t \right)
\end{align}\]
となり、定理が成り立ちます。
カヤ
次回からはまた複素関数の話に戻る予定だ。今回最後に取り扱った 2 変数平均値の定理は次回使うのでよろしくな。
ナユミ
わかったわ。
参考：
[1] 難波 誠、数学シリーズ 微分積分学、裳華房、2009年1月20日発行
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ロルの定理・
平均値の定理
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