第22話  偏微分

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　二つ以上の独立変数を持つ関数を多変数関数と呼びます。

　多変数関数についても、1変数関数と同じように極限と連続を定義することができます。 高校数学風に「限りなく近づく」の表現を用いて定義してもいいですが、ここでは \( \epsilon \text{ - } \delta\) 論法を使って定義しておきます。
　\( n \) を自然数とし、\( n \) 変数関数 \( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) について、 任意の \( \epsilon \gt 0 \) に対し、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、 \[ \sqrt{\left( x_1 - a_1 \right)^2 + \left( x_2 - a_2 \right)^2 + \cdots + \left( x_n - a_n \right)^2} \lt \delta \] となるすべての点 \( ( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) に対し、 \[ \begin{align} \left| f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) - b \right| \lt \epsilon \end{align}\] が成り立つとき、これを \[ \lim _{( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n )} f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = b \] と表し、\( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) は \( ( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \) のときに \( b \) に収束するといいます。このとき、\( b \) を極限値と呼びます。 また、 \[ \lim _{( x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \to ( a_1 , a_2 , \cdots , a_n )} f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = f (a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \] が成り立つとき、関数 \( z = f (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) \) は \( (x_1 , x_2 , \cdots , x_n ) = (a_1 , a_2 , \cdots , a_n ) \) で連続であるといいます。 定義域の各点で連続な関数を連続関数と呼びます。

　偏微分は多変数関数をある一つの変数で微分することです。偏微分係数の定義は以下の通りです。

　また、1変数関数の時と同じく微分係数から導関数が定義されます。

　1変数関数の導関数と異なり、偏導関数は変数が複数あるため、どの変数に関する偏導関数をどういう順番で求めたのかを上のように明記します。 同じ変数に関する偏導関数を続けて求める場合は、その変数に関する偏導関数を続けて求めた回数を分母の変数に上付きの添え字で記します。 また、分子の \( \partial \) に上付きの添え字で記された数字は、変数の種類によらず偏導関数を求めた回数を表しています。

　また、1変数関数と同様に、偏導関数の連続性に応じた次の分類があります。