目次
・ \( x^n \) の微分
・三角関数の微分
・ \( e^x \) と \( \ln x \) の微分
・対数微分法
・逆三角関数の微分
・ \( n \) 次導関数
カヤ
今回は様々な関数についての微分を紹介していこう。まずは、\( x^n \) （ \( n \) は整数）の微分から。
\( x^n \) の微分
ナユミ
\( x^n \) は \( x \) とか \( x^2 \) とか？
カヤ
そういう関数だな。まずは、公式を見ておこう。
\[ \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \ \ ( n \ \rm{は} \rm{整数、} \it{x} \ \rm{は実数} ) \]
\( x^n \) の微分は \( x \) の指数を \( -1 \) して、元の指数をかけ算します。
この公式の証明は、まず \( n \gt 0 \) の場合と、\( n = 0 \) の場合を示します。
最後にそれらの結果を使って \( n \lt 0 \) の場合を示す方針で進めます。
なので、まず \( n \gt 0 \) の場合を示します。
[1] \( n = 1 \) のとき
\( x^1 = x \) だから、 \[ \begin{align} (x)' &= \lim _{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\\\ &= \lim _{h \to 0} \frac{h}{h} \\\\ &= \lim _{h \to 0} 1 \\\\ &= 1 \\\\ &= 1 \times x^{1-1} \\\\ \end{align} \] よって、\( n = 1 \) のとき、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
[2] \( k \) を任意の自然数として、\( n = k \) のとき、\[ \left( x^k \right) ' = k x^{k-1} \] が成り立つと仮定する。 \[ \begin{align} (x^{k+1})' &= (x^k \times x)' \\\\ &= (x^k)' \times x + x^k \times (x)' \\\\ &= k x^{k-1} \times x + x^k \times 1 \\\\ &= k x^k + x^k \\\\ &= (k+1)x^k \\\\ &= (k+1)x^{(k+1)-1} \end{align} \] よって、\( n = k + 1\) のとき、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
[1]と[2]より、任意の自然数 \( n \) について、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
\( x^1 = x \) だから、 \[ \begin{align} (x)' &= \lim _{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\\\ &= \lim _{h \to 0} \frac{h}{h} \\\\ &= \lim _{h \to 0} 1 \\\\ &= 1 \\\\ &= 1 \times x^{1-1} \\\\ \end{align} \] よって、\( n = 1 \) のとき、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
[2] \( k \) を任意の自然数として、\( n = k \) のとき、\[ \left( x^k \right) ' = k x^{k-1} \] が成り立つと仮定する。 \[ \begin{align} (x^{k+1})' &= (x^k \times x)' \\\\ &= (x^k)' \times x + x^k \times (x)' \\\\ &= k x^{k-1} \times x + x^k \times 1 \\\\ &= k x^k + x^k \\\\ &= (k+1)x^k \\\\ &= (k+1)x^{(k+1)-1} \end{align} \] よって、\( n = k + 1\) のとき、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
[1]と[2]より、任意の自然数 \( n \) について、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
[1]では \( n = 1 \) の場合に公式が成り立つことを示しています。
続いて、[2]は \( n = k \) のときに、公式が成り立つと仮定したうえで、\( n = k + 1 \) の場合に公式が成り立つことを示しています。
すると、[1]と[2]から \( n = 2 \) の場合に公式が成り立つことがわかり、この結果を再び[2]に適用すると \( n = 3 \) の場合に公式が成り立つことがわかります。
以後同様に続けていくと、任意の自然数 \( n \) について、公式が成り立つことがわかります。
このような証明の方法は一般的に数学的帰納法と呼ばれています。
ナユミ
これで、\( n \gt 0 \) のときが証明できたから、次は \( n = 0 \) のときかな？
カヤ
そうだな。\( n = 0 \) のときの証明は次の通りだ。
\( n = 0 \) のとき、\( x^0 = 1 \) だから、
\[ \begin{align}
(1)' &= \lim _{h \to 0} \frac{1 - 1}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{0}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} 0 \\\\
&= 0 \\\\
&= 0 \times x^{0-1} \\\\
\end{align} \]
よって、\( n = 0 \) のとき、\( \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \) が成り立つ。
式変形の一行目の分子の \( 1-1 \) は \( 1 \) を \( f(x) = 1 \) とあえておいてみるとわかりやすいです。
この関数の変数 \( x \) のところに \( x+h \) を代入しても、値は \( 1 \) で変わらないので、導関数の分子である \( f(x+h) - f(x) \) の部分が \( 1-1 \)
になっています。
式変形の最後は \( 0 \) に何をかけても \( 0 \) なので、\( x^{0-1} \) をかけて公式の形に合わせています。
式変形の最後は \( 0 \) に何をかけても \( 0 \) なので、\( x^{0-1} \) をかけて公式の形に合わせています。
カヤ
これで、\( n \geq 0 \) の場合まで証明できたので、最後に \( n \lt 0 \) の場合を証明しよう。
\[ \left( x^n \right) ' = n x^{n-1} \]
が \( n \lt 0 \) の場合に成り立つことを証明するには、
\[ \left( x^{-m} \right) ' = -m x^{-m-1} \ \ \rm{（} \ \it{m} \ \rm{は自然数）}\]
が成り立つことを示せばよい。
\[ \begin{align}
\left( x^{-m} \right) ' &= \left( \frac{1}{x^m} \right) ' \\\\
&= \frac{(1)' \times x^{m} - 1 \times \left( x^m \right) '}{\left( x^m \right)^2} \\\\
&= \frac{0 \times x^{m} - 1 \times m x^{m-1}}{x^{2m}} \\\\
&= - \frac{m x^{m-1}}{x^{2m}} \\\\
&= - m x^{-m-1}
\end{align} \]
\( n = -m \) と置き換えることで商の微分公式が使えるようにしています。
ナユミ
これですべての整数について \( x^n \) の微分公式が成り立つことが証明できたのね。
カヤ
そうだな。次は三角関数の微分に行こう。
三角関数の微分
\[ \begin{align}
&\left( \sin x \right) ' = \cos x \ \ (x \ \rm は実数) \\\\
&\left( \cos x \right) ' = - \sin x \ \ (x \ \rm は実数) \\\\
&\left( \tan x \right) ' = \frac{1}{\cos ^2 x} \ \ (x \ \rm は \ \it n \ \rm を整数として、\frac{(2 \it n \rm
-1) \pi}{2} \ を除く実数)
\end{align} \]
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
で、これは \( \cos x \neq 0 \) のときしか定義できません。
そのため、\( n \) を整数として、
\[ x = \frac{(2 \it n \rm -1) \pi}{2} \]
においては、タンジェントの微分は定義されません。
カヤ
まずは \( \sin x \) の微分から証明していこう。
\[ \begin{align}
\left( \sin x \right) ' &= \lim _{h \to 0} \frac{\sin \left( x+h \right) - \sin x}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{2 \cos \frac{\left( x+h \right) + x}{2} \sin \frac{\left( x+h \right) -
x}{2}}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{2 \cos \frac{2x+h}{2} \sin \frac{h}{2}}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} 2 \cos \frac{2x+h}{2} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \times \frac{1}{2} \\\\
&= 2 \cos \frac{2x}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \\\\
&= \cos x
\end{align} \]
2行目は差を積に直す公式を使いました。4行目ではsinc関数の極限公式
\[ \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
が使えるように式変形しています。
ナユミ
次は \( \cos x \) の微分ね。
\[ \begin{align}
\left( \cos x \right) ' &= \lim _{h \to 0} \frac{\cos \left( x+h \right) - \cos x}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} - \frac{2 \sin \frac{\left( x+h \right) + x}{2} \sin \frac{\left( x+h \right) -
x}{2}}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} - \frac{2 \sin \frac{2x+h}{2} \sin \frac{h}{2}}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} - 2 \sin \frac{2x+h}{2} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \times \frac{1}{2} \\\\
&= - 2 \sin \frac{2x}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \\\\
&= - \sin x
\end{align} \]
ナユミ
\( \sin x \) の微分と同じ流れね。
カヤ
だな。\( \tan x \) の微分は商の微分公式を用いて求めよう。
\[ \begin{align}
\left( \tan x \right) ' &= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) ' \\\\
&= \frac{\left( \sin x \right)' \cos x - \sin x \left( \cos x \right) '}{\cos ^2 x} \\\\
&= \frac{\cos x \cos x - \sin x \left( - \sin x \right) }{\cos ^2 x} \\\\
&= \frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{\cos ^2 x} \\\\
&= \frac{1}{\cos ^2 x}
\end{align} \]
ナユミ
最後の式変形は
\[ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1\]
を使ったのね。
カヤ
そうだな。これで三角関数の微分は終わり。次はネイピア数を底とする指数関数 \( e^x \) と対数関数 \( \ln x \) の微分だ。
\( e^x \) と \( \ln x \) の微分
カヤ
微分公式に入る前に、次の極限公式について説明しておこう。
\[ \lim _{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]
\[ \lim _{x \to 0} \left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}} = e \]
ナユミ
二つあるのね。
カヤ
上の公式から下の公式はすぐに導けるぞ。
\[ \begin{align}
\lim _{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &= 1 \\\\
\lim _{x \to 0} e^x - 1 &= \lim _{x \to 0} x \\\\
\lim _{x \to 0} e^x &= \lim _{x \to 0} \left( 1+x \right) \\\\
e &= \lim _{x \to 0} \left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}} \\\\
\end{align} \]
ナユミ
本当ね。じゃあ、上の式はどう導くの？
カヤ
上の式は \( e^x \) の持つ \( x = 0 \) における接線の傾きが \( 1 \) になるという性質を使えば求まる。
\( f(x) = e^x \) は \( x = 0 \) における接線の傾き、すなわち微分係数が \( 1 \) になる。よって、
\[ \begin{align}
f'(0) &= \lim _{h \to 0} \frac{f \left( 0 + h \right) - f(0)}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{e^{0+h} - e^0}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} \\\\
&= \lim _{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 \\\\
\end{align} \]
ナユミ
接線の傾きを微分係数と読み替えたのね。
カヤ
そういうことだな。極限公式が導出できたので、微分公式に移ろう。
\[ \left( e^x \right) ' = e^x \ \ ( x \ \rm{は実数} ) \]
\[ \left( \ln x \right) ' = \frac{1}{x} \ \ ( x \rm \gt 0 ) \]
ナユミ
\( e^x \) の微分はそのままなのね。
カヤ
そうなんだな。まずは \( e^x \) の微分を求めよう。
\[ \begin{align}
\left( e^x \right) ' &= \lim _{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{e^{x} \left( e^h - 1 \right) }{h} \\\\
&= e^{x} \lim _{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \\\\
&= e^{x} \times 1 = e^x \\\\
\end{align} \]
4行目では \( h \) を変数に持たない \( e^x \) を極限の外側に出して、上で求めた極限公式が使える形にしています。
ナユミ
微分してもそのままで覚えやすいわね。
カヤ
そうだな。次に、\( \ln x \) の微分はこうなる。
\[ \begin{align}
\left( \ln x \right) ' &= \lim _{h \to 0} \frac{\ln \left( x+h \right) - \ln x}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{\ln \frac{x+h}{x}}{h} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \frac{1}{h} \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right) \\\\
&= \lim _{h \to 0} \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right) ^{\frac{1}{h}} \\\\
&= \lim _{h \to 0} \ln \left\{ \left( 1 + \frac{h}{x} \right) ^{\frac{x}{h}} \right\} ^{\frac{1}{x}}
\\\\
&= \ln e^{\frac{1}{x}} \\\\
&= \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x}
\end{align} \]
ナユミ
指数法則と対数法則のオンパレードね。四行目から五行目への変形はそうそう思いつかなさそう。
カヤ
結構テクニカルな式変形だったな。次はこの \( \ln x \) の微分を用いた手法である対数微分法について解説しよう。
対数微分法
ナユミ
対数を使って微分するのね。
カヤ
そういうことだな。この対数微分法を使って導ける公式を二つ紹介しておこう。
\[ \left( x^a \right) ' = a x^{a-1} \ \ ( a \ \rm{は} \rm{実数、} \it{x} \ \rm{は正の実数} ) \]
\[ \left( a^x \right) ' = a^x \ln a \ \ ( x \ \rm{は実数、} \ \it{a} \ \rm{は正の実数} ) \]
上の方はさっき求めた \( x^n \) の微分と形は一緒です。
指数の範囲が整数から実数に拡張されていること、定義域は正の実数に制限されていることに注意してください。
カヤ
まずは上の公式から導出しよう。
\( y = x^a \) とおいて、両辺の自然対数を取ると、
\[ \begin{align}
\ln y &= \ln x^a \\\\
\ln y &= a \ln x
\end{align} \]
両辺を \( x \) で微分すると、
\[ \begin{align}
\frac{d}{dx} \left( \ln y \right) &= \frac{d}{dx} \left( a \ln x \right) \\\\
\end{align} \]
ここで、\( v = \ln y \) とおくと、合成関数の微分法より、左辺は
\[ \begin{align}
\frac{d}{dx} \left( \ln y \right) &= \frac{dv}{dx} \\\\
&= \frac{dv}{dy} \frac{dy}{dx} \\\\
&= \left( \ln y \right) ' y' \\\\
&= \frac{1}{y} y'
\end{align} \]
となるから、
\[ \begin{align}
\frac{1}{y} y' &= \frac{d}{dx} \left( a \ln x \right) \\\\
\frac{1}{y} y' &= a \frac{d}{dx} \left( \ln x \right) \\\\
\frac{1}{y} y' &= \frac{a}{x} \\\\
y' &= \frac{a}{x} \times y \\\\
&= \frac{a}{x} x^a = a x^{a-1}
\end{align} \]
\( \frac{d}{dx} \) という導関数の記号を使いましたが、
合成関数の微分法を使うときなど変数が3つ以上あるときは、どの変数で微分しているのかが明確になるためこの記号は便利です。
また、対数微分法は始めに自然対数を取るので、値域が正の実数の関数の微分にしか使えないことに注意してください。
ナユミ
次はもう一つの公式の方ね。
\( y = a^x \) とおいて、両辺の自然対数を取ると、
\[ \begin{align}
\ln y &= \ln a^x \\\\
\ln y &= x \ln a
\end{align} \]
両辺を \( x \) で微分すると、
\[ \begin{align}
\frac{d}{dx} \left( \ln y \right) &= \frac{d}{dx} \left( x \ln a \right) \\\\
\end{align} \]
ここで、\( v = \ln y \) とおくと、合成関数の微分法より、左辺は
\[ \begin{align}
\frac{d}{dx} \left( \ln y \right) &= \frac{1}{y} y'
\end{align} \]
となるから、
\[ \begin{align}
\frac{1}{y} y' &= \frac{d}{dx} \left( x \ln a \right) \\\\
\frac{1}{y} y' &= \ln a \frac{d}{dx} \left( x \right) \\\\
\frac{1}{y} y' &= \ln a \\\\
y' &= y \ln a = a^x \ln a
\end{align} \]
カヤ
次は逆三角関数の微分公式を見ていこう。
逆三角関数の微分
\[ \begin{align}
&\left( \sin ^{-1} x \right) ' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\
&\left( \cos ^{-1} x \right) ' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ ( -1 \lt x \lt 1 ) \\\\
&\left( \tan ^{-1} x \right) ' = \frac{1}{1 + x^2} \ \ ( - \infty \lt x \lt \infty )
\end{align} \]
カヤ
\( \sin ^{-1} x \) の微分から証明していこう。
\( y = \sin ^{-1} x \) と置くと、\( x = \sin y \) であるから、逆関数の微分公式より、
\[ \begin{align}
\frac{dy}{dx} = \cfrac{1}{\cfrac{dx}{dy}}
= \frac{1}{\cos y}
\end{align} \]
ここで、逆三角関数の定義より \( - \pi / 2 \leq y \leq \pi / 2 \) であるから、\( \cos y \geq 0 \) である。
よって、
\[ \begin{align}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}
= \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 y}}
= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align} \]
ナユミ
次は、\( \cos ^{-1} x \) ね。
\( y = \cos ^{-1} x \) と置くと、\( x = \cos y \) であるから、逆関数の微分公式より、
\[ \begin{align}
\frac{dy}{dx} = \cfrac{1}{\cfrac{dx}{dy}}
= - \frac{1}{\sin y}
\end{align} \]
ここで、逆三角関数の定義より \( 0 \leq y \leq \pi \) であるから、\( \sin y \geq 0 \) である。
よって、
\[ \begin{align}
\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\sin y}
= - \frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2 y}}
= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align} \]
カヤ
あとは、\( \tan ^{-1} x \) の微分だ。
\( y = \tan ^{-1} x \) と置くと、\( x = \tan y \) であるから、逆関数の微分公式より、
\[ \begin{align}
\frac{dy}{dx} = \cfrac{1}{\cfrac{dx}{dy}}
= \cos ^2 y
= \frac{1}{1 + \tan ^2 y}
= \frac{1}{1 + x^2}
\end{align} \]
カヤ
最後に \( n \) 次導関数について、軽く解説して終わりとしよう。
\( n \) 次導関数
ナユミ
\( n \) 次導関数？
カヤ
\( n \) 次導関数というのは、簡潔に言えば、\( n \) 回微分した関数のことだな。ちゃんと定義するとこうなる。
\[ n次導関数\]
\( n \) を自然数として、関数 \( y = f(x) \) の \( \boldsymbol n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right)} (x) \)
を次のように定義する。
[1] \( f^{\left( 1 \right) } (x) = f'(x) \)
[2] \( f^{\left( n \right) } (x) = \left\{ f^{\left( n - 1 \right) } (x) \right\} ' \)
\( n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right)} (x) \) を表す他の記号に、\( y^{\left( n \right)} \) 、\( \frac{d^n y}{dx^n} \) 、\( \frac{d^n}{dx^n} f(x) \) がある。
[1] \( f^{\left( 1 \right) } (x) = f'(x) \)
[2] \( f^{\left( n \right) } (x) = \left\{ f^{\left( n - 1 \right) } (x) \right\} ' \)
\( n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right)} (x) \) を表す他の記号に、\( y^{\left( n \right)} \) 、\( \frac{d^n y}{dx^n} \) 、\( \frac{d^n}{dx^n} f(x) \) がある。
ナユミ
微分した回数を \( f \) の右上に書いてあるのね。
カヤ
そうだな。それから、関数を微分できる回数と、導関数の連続性に応じた次の分類法がある。
\[ \begin{align}
C^n \text{ - 関数}
\end{align}\]
関数 \( y = f(x) \) の \( n \) 次導関数 \( f^{\left( n \right) } (x) \) が存在するとき、\( f(x) \) は \( \boldsymbol n
\) 回微分可能であるという。
さらに、\( f^{\left( n \right) } (x) \) が連続であるとき、\( f(x) \) を \( \boldsymbol n \) 回連続微分可能な関数、または \(
\boldsymbol C^n \) - 関数と呼ぶ。
また、任意の自然数 \( m \) に対して、\( m \) 次導関数 \( f^{\left( m \right) } (x) \) が存在するとき、\( f(x) \) を \( \boldsymbol
C^{\infty} \) - 関数と呼ぶ。
カヤ
これらの用語はすぐには必要ないかもしれないが、\( 2 \) 次導関数ぐらいは数値実験の解説でそのうち出てくると思う。
ナユミ
ふんわり覚えておくわ。
カヤ
そうしておいてくれ。それじゃあ今回はここまでにしよう。
参考：
[1] George Allen & Unwin Ltd 著、矢野健太郎 訳補、ブルーバックス 現代数学百科、講談社、1968年11月30日発行
[2] 石村園子、やさしく学べる微分積分、共立出版、1999年12月25日発行
[3] 難波 誠、数学シリーズ 微分積分学、裳華房、2009年1月20日発行
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