第43話  行列の対角化

この記事を読む助けになる数学の記事
・数値計算：1話、 5話、 30話、 31話、 32話、 37話、 38話、 41話

　\( n \) 次正方行列 \( A \) が対角化可能であるとき、\( A^k \) は簡単に計算することができます。 なぜなら、\( D \) を対角行列、\( P \) を正則行列として、\( D = P^{-1} A P \) と表せるとすると、 \[ \begin{align} D^k &= \left( P^{-1} A P \right) ^k \\\\ &= \left( P^{-1} A P \right) \left( P^{-1} A P \right) \cdots \left( P^{-1} A P \right) \\\\ &= P^{-1} A \left( P^{-1} P \right) A \cdots \left( P^{-1} P \right) A P \\\\ &= P^{-1} A^k P \end{align}\] よって、 \[ \begin{align} A^k &= P D^k P^{-1} \end{align}\] が成り立ちます。ここで、 \[ \begin{align} D = \left( \begin{array}{cccc} d_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & d_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & d_{nn} \end{array} \right) \end{align}\] とすると、 \[ \begin{align} D^k = \left( \begin{array}{cccc} \left( d_{11} \right) ^k & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \left( d_{22} \right) ^k & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \left( d_{nn} \right) ^k \end{array} \right) \end{align}\] となるため、\( P D^k P^{-1} = A^k \) は容易に計算することができます。

　まず、\( A \) が対角化可能であるとき、\( A \) が \( n \) 個の線形独立な固有ベクトルを持つことを証明します。 \( A \) が対角化可能であるので、正則行列 \( P \) および対角行列 \( D \) を用いて、 \[ \begin{align} AP = PD \end{align}\] と表せます。\( P \) の列ベクトルを \( \boldsymbol p_1 , \ \ \boldsymbol p_2 , \ \ \cdots , \ \ \boldsymbol p_n \) とし、\( D \) の対角成分を \( d_1 , \ \ d_2 , \ \ \cdots , \ \ d_n \) とすると、上の式は、 \[ \begin{align} A \boldsymbol p_1 = d_1 \boldsymbol p_1 , \ A \boldsymbol p_2 = d_2 \boldsymbol p_2 , \ \cdots \ , \ A \boldsymbol p_n = d_n \boldsymbol p_n \end{align}\] が成り立つことを意味します。\( P \) は正則行列なので、\( P \) の列ベクトルは線形独立であり、それゆえ、 \[ \begin{align} \boldsymbol p_1 \neq \boldsymbol p_2 \neq \ \cdots \ \boldsymbol p_n \neq O \end{align}\] を満たします。よって、固有値および固有ベクトルの定義から、\( \boldsymbol p_1 , \ \ \boldsymbol p_2 , \ \ \cdots , \ \ \boldsymbol p_n \) は \( A \) の固有ベクトルであり、\( d_1 , \ \ d_2 , \ \ \cdots , \ \ d_n \) はこれに対応する固有値になります。 よって、\( A \) が \( n \) 個の線形独立な固有ベクトルを持つことが示せました。

　続いて、\( A \) が \( n \) 個の線形独立な固有ベクトルを持つとき、\( A \) が対角化可能であることを示します。 \( A \) の固有ベクトルを \( \boldsymbol p_1 , \ \ \boldsymbol p_2 , \ \ \cdots , \ \ \boldsymbol p_n \) 、これに対応する固有値を \( \lambda _1 , \ \ \lambda _2 , \ \ \cdots , \ \ \lambda _n \) とします。すると、 \[ \begin{align} A \boldsymbol p_1 = \lambda _1 \boldsymbol p_1 , \ A \boldsymbol p_2 = \lambda _2 \boldsymbol p_2 , \ \cdots \ , \ A \boldsymbol p_n = \lambda _n \boldsymbol p_n \end{align}\] が成り立ちます。よって、\( P = \left( \boldsymbol p_1 \ \ \boldsymbol p_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol p_n \right) \) とし、\( \lambda _1 , \ \ \lambda _2 , \ \ \cdots , \ \ \lambda _n \) を対角成分に並べた対角行列を \( D \) とすれば、 \[ \begin{align} AP = PD \end{align}\] となります。\( P \) の線形独立な列ベクトルの最大数は \( n \) であるため、\( P \) は正則行列であり逆行列 \( P^{-1} \) が存在します。 よって、上の式に両辺右から \( P^{-1} \) をかければ、 \[ \begin{align} P^{-1} AP = D \end{align}\] が成り立ち、\( A \) が対角化可能であることが示せました。

　数学的帰納法を用いて、上の定理を証明していきます。

[1] \( n=1 \) のとき
　\( 1 \) 次正規行列を \( A_1 = \left( a_{11} \right)\) とします。 \( U_1 = E_1 \) とおくと、\( U_1 \) はユニタリ行列であり、\( U_1 ^{-1} = E_1 \) となります。よって、 \[ \begin{align} U_1 ^{-1} A_1 U_1 = E_1 A E_1 = A_1 \end{align}\] となります。\( A_1 \) は対角行列なので、上の定理が成り立ちます。

[2] \( n=k \) のとき、上の定理が成り立つと仮定した上で、\( n=k+1 \) のとき
　\( k+1 \) 次正規行列を \( A_{k+1}\) とします。 \( A_{k+1}\) の 1 つの固有値を \( \lambda \) とし、これに対応する固有ベクトルを \( \boldsymbol x \) とします。 \( \boldsymbol x_1 = \boldsymbol x / \| \boldsymbol x \| \) とし、\( \boldsymbol x_1 \) をもとにグラム・シュミットの直交化法により正規直交系 \( \boldsymbol x_1 , \ \boldsymbol x_2 , \ \cdots , \ \boldsymbol x_{k+1} \) を作ります。 すると、列ベクトルが正規直交系となる行列はユニタリ行列であるため、 \[ \begin{align} U_{k+1} = \left( \boldsymbol x_1 \ \boldsymbol x_2 \ \cdots \ \boldsymbol x_{k+1} \right) \end{align}\] とすれば、\( U_{k+1} \) はユニタリ行列となります。 そこで、\( U_{k+1} ^{-1} = U_{k+1} ^{\dagger} \) であることに注意すると、次が成り立ちます。 \[ \begin{align} U_{k+1} ^{-1} A_{k+1} U_{k+1} &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \\\\ &= \left( \begin{array}{c} \boldsymbol x_1 ^{\dagger} \\ \boldsymbol x_2 ^{\dagger} \\ \vdots \\ \boldsymbol x_{k+1} ^{\dagger} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} A_{k+1} \boldsymbol x_1 & A_{k+1} \boldsymbol x_2 & \cdots & A_{k+1} \boldsymbol x_{k+1} \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{c} \boldsymbol x_1 ^{\dagger} \\ \boldsymbol x_2 ^{\dagger} \\ \vdots \\ \boldsymbol x_{k+1} ^{\dagger} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \lambda \boldsymbol x_1 & A_{k+1} \boldsymbol x_2 & \cdots & A_{k+1} \boldsymbol x_{k+1} \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cccc} \left( \lambda \boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_1 \right) & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_2 , \boldsymbol x_1 \right) & \ldots & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_{k+1} , \boldsymbol x_1 \right) \\ \left( \lambda \boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_2 \right) & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_2 , \boldsymbol x_2 \right) & \ldots & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_{k+1} , \boldsymbol x_2 \right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \left( \lambda \boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_{k+1} \right) & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_2 , \boldsymbol x_{k+1} \right) & \ldots & \left( A_{k+1} \boldsymbol x_{k+1} , \boldsymbol x_{k+1} \right) \end{array} \right) \end{align}\] ここで、\( B \) を \( k \) 項行ベクトル、\( C \) を \( k \) 次行列とすれば、上の式は次のように区分けできます。 \[ \begin{align} U_{k+1} ^{-1} A_{k+1} U_{k+1} &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & B \\ O & C \end{array} \right) \end{align}\] よって、この行列の随伴行列を考えると次が成り立ちます。 \[ \begin{align} \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \right) ^{\dagger} &= U_{k+1} ^{\dagger} \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} \right) ^{\dagger} \\\\ &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} ^{\dagger} U_{k+1} \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda ^* & O \\ B ^{\dagger} & C ^{\dagger} \end{array} \right) \end{align}\] 従って、\( U_{k+1} U_{k+1} ^{\dagger} = E_{k+1} \) であることに注意すると、 \[ \begin{align} \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \right) \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} ^{\dagger} U_{k+1} \right) &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} A_{k+1} ^{\dagger} U_{k+1} \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & B \\ O & C \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \lambda ^* & O \\ B ^{\dagger} & C ^{\dagger} \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} | \lambda | ^2 + B B^{\dagger} & B C^{\dagger} \\ C B ^{\dagger} & CC ^{\dagger} \end{array} \right) \end{align}\] 同様に、 \[ \begin{align} \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} ^{\dagger} U_{k+1} \right) \left( U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \right) &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda ^* & O \\ B ^{\dagger} & C ^{\dagger} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \lambda & B \\ O & C \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} | \lambda | ^2 & \lambda ^* B \\ \lambda B ^{\dagger} & C ^{\dagger} C \end{array} \right) \end{align}\] ここで、正規行列の性質より \( A_{k+1} A_{k+1} ^{\dagger} = A_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} \) であるため、次が成り立ちます。 \[ \begin{align} U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} A_{k+1} ^{\dagger} U_{k+1} &= U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} \\\\ \left( \begin{array}{cc} | \lambda | ^2 + B B^{\dagger} & B C^{\dagger} \\ C B ^{\dagger} & CC ^{\dagger} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cc} | \lambda | ^2 & \lambda ^* B \\ \lambda B ^{\dagger} & C ^{\dagger} C \end{array} \right) \end{align}\] この式の両辺を比較すると、\( B = O \) 、\( CC^{\dagger} = C^{\dagger} C \) が成り立ちます。よって、\( C \) は \( k \) 次正規行列であり、次式が成り立ちます。 \[ \begin{align} U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} = \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & C \end{array} \right) \end{align}\] 仮定より、\( C \) はあるユニタリ行列 \( T \) により \( T^{-1} C T = \Gamma \) と対角化可能です。 ここで、\( \Gamma \) は対角行列です。\( T \) を用いて \( k+1 \) 次行列 \( R \) を \[ \begin{align} R = \left( \begin{array}{cc} 1 & O \\ O & T \end{array} \right) \end{align}\] と定義すると \( R \) はユニタリ行列となります。そして、次の行列を考えます。 \[ \begin{align} R ^{\dagger} U_{k+1} ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} R &= \left( U_{k+1} R \right) ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} R \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} 1 & O \\ O & T ^{\dagger} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & C \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & O \\ O & T \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} 1 & O \\ O & T ^{\dagger} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & CT \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & T ^{\dagger} CT \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & T ^{-1} CT \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & \Gamma \end{array} \right) \end{align}\] ユニタリ行列同士の積はユニタリ行列であるため、\( U_{k+1} R \) はユニタリ行列となります。よって、 \[ \begin{align} \left( U_{k+1} R \right) ^{\dagger} A_{k+1} U_{k+1} R &= \left( U_{k+1} R \right) ^{-1} A_{k+1} U_{k+1} R \\\\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda & O \\ O & \Gamma \end{array} \right) \end{align}\] が成り立ち、これは \( A _{k+1} \) のユニタリ行列による対角化であるため、\( n=k+1 \) のときも上の定理が成り立つと言えます。

　よって、[1][2]より、任意の自然数 \( n \) に対して上の定理が成り立ちます。