第42話  線形独立

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　\( n \) 項列（あるいは行）ベクトル \( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) の線形結合についての式 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k = O \end{align}\] を線形関係と呼びます。\( c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0 \) としたとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) がどんな列（あるいは行）ベクトルであっても線形関係は成り立ち、これを自明な線形関係と呼びます。

　\( n \) 項列（あるいは行）ベクトル \( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) に自明でない線形関係があるとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) は線形従属であると言い、 自明でない線形関係が存在しないとき、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) は線形独立であると言います。

　線形従属であるということは、次のように言い換えることができます。

　\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) が線形従属なら、自明でない線形関係 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k = O \end{align}\] が存在します。 \( c_1 , c_2 , \cdots , c_k \) の中には、\( c_p \neq 0 \) となるものがあるため、 \[ \begin{align} \boldsymbol a_p = - \frac{c_1}{c_p} \boldsymbol a_1 - \frac{c_2}{c_p} \boldsymbol a_2 - \cdots - \frac{c_{p-1}}{c_p} \boldsymbol a_{p-1} - \frac{c_{p+1}}{c_p} \boldsymbol a_{p+1} - \cdots - \frac{c_k}{c_p} \boldsymbol a_k \end{align}\] と変形でき、\( \boldsymbol a_p \) は他の \( k-1 \) 個の列（行）ベクトルの線形結合として表されると言えます。

　逆に、ある \( p \) に対して、\( d_1 , d_2 , \cdots , d_k \) を任意定数として、 \[ \begin{align} \boldsymbol a_p = - d_1 \boldsymbol a_1 - d_2 \boldsymbol a_2 - \cdots - d_{p-1} \boldsymbol a_{p-1} - d_{p+1} \boldsymbol a_{p+1} - \cdots - d_k \boldsymbol a_k \end{align}\] が成り立つなら、\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) のあいだの線形関係 \[ \begin{align} d_1 \boldsymbol a_1 + d_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + d_{p-1} \boldsymbol a_{p-1} - \boldsymbol a_p + d_{p+1} \boldsymbol a_{p+1} + \cdots + d_k \boldsymbol a_k = O \end{align}\] は \( \boldsymbol a_p \) の係数が \( -1 \neq 0 \) であることから、自明でない線形関係となります。

　[1] を証明します。\( \boldsymbol a_1 , \boldsymbol a_2 , \cdots , \boldsymbol a_k \) のあいだに線形関係 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k = O \end{align}\] があれば、この式の両辺に左から \( A \) をかけると、 \[ \begin{align} A \left( c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_k \boldsymbol a_k \right) &= AO \\\\ c_1 \left( A \boldsymbol a_1 \right) + c_2 \left( A \boldsymbol a_2 \right) + \cdots c_k \left( A \boldsymbol a_k \right) &= O \end{align}\] となり、\( A \boldsymbol a_1 , A \boldsymbol a_2 , \cdots , A \boldsymbol a_k \) のあいだにも \( c_1 , c_2 , \cdots , c_k \) を係数とする線形関係が存在し、[1] が成り立ちます。 [2] も \( \boldsymbol b_1 , \boldsymbol b_2 , \cdots , \boldsymbol b_k \) のあいだの線形関係を考えれば、同様に証明できます。

　まずは、行列の基本変形と線形関係についての次の定理を証明します。

　以下、列ベクトルについて上の定理が成り立つことを証明していきます。行ベクトルについても同様に証明できます。

　\( A = \left( \boldsymbol a_1 \ \ \boldsymbol a_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n \right) \) とします。 \( A \) の列ベクトルのあいだの線形関係 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol a_1 + c_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + c_n \boldsymbol a_n = O \ \ldots \left( 1 \right) \end{align}\] が、行列の基本変形の前後で変化しないことを確認します。

[1] ある列とある列を入れ替える
　この操作の結果、\( A \) の第 \( p \) 列と第 \( q \) 列が交換され \( B = \left( \boldsymbol b_1 \ \ \boldsymbol b_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_n \right) \) に変形されたとします。 線形結合の新しい係数 \( d_j \) を \[ \begin{align} d_{j} = \left\{ \begin{array}{c} c_j \ \ \left( j \neq p \ \rm かつ \ \it j \neq q \right) \\ c_p \ \ \left( j=q \right) \\ c_q \ \ \left( j=p \right) \end{array} \right. \end{align}\] とすれば、\( B \) の列ベクトルのあいだの線形関係 \[ \begin{align} d_1 \boldsymbol b_1 + d_2 \boldsymbol b_2 + \cdots + d_n \boldsymbol b_n = O \end{align}\] は、\( \left( 1 \right) \) と同じものになります。


[2] ある列を定数倍する
　この操作の結果、\( A \) の第 \( p \) 列が \( t \) 倍され \( B = \left( \boldsymbol b_1 \ \ \boldsymbol b_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_n \right) \) に変形されたとします。 線形結合の新しい係数 \( d_j \) を \[ \begin{align} d_{j} = \left\{ \begin{array}{c} c_j \ \ \left( j \neq p \right) \\ \frac{c_p}{t} \ \ \left( j=p \right) \end{array} \right. \end{align}\] とすれば、\( B \) の列ベクトルのあいだの線形関係は、\( \left( 1 \right) \) と同じものになります。


[3] ある列を定数倍して別のある列に足す
　この操作の結果、\( A \) の第 \( q \) 列の \( t \) 倍が第 \( p \) 列に加えられ \( B = \left( \boldsymbol b_1 \ \ \boldsymbol b_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_n \right) \) に変形されたとします。 線形結合の新しい係数 \( d_j \) を \[ \begin{align} d_{j} = \left\{ \begin{array}{c} c_j \ \ \left( j \neq q \right) \\ c_q - tc_p \ \ \left( j=q \right) \end{array} \right. \end{align}\] とすれば、\( B \) の列ベクトルのあいだの線形関係は、\( \left( 1 \right) \) と同じものになります。


　以上より、\( A \) に基本変形を施しても、\( A \) の列ベクトルのあいだの線形関係は変わらず、\( A \) の線形独立な列ベクトルの最大数も変わらないと言えます。

　続いて、上の定理をもとに次の定理を証明します。

　任意の \( \left( m, n \right) \) 型行列 \( A \) は、基本変形を何回か施すことにより、次の標準形 \( F_{m, \ n} \left( r \right) \) に変形することができるのでした。 \[ \begin{align} F_{m, \ n} \left( r \right) &= \left( \begin{array}{cc} E_{r} & O_{r, \ n-r} \\ O_{m-r, \ r} & O_{m-r, \ n-r} \end{array} \right) \\\\ &= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & & & \\ \vdots & \vdots & & * & \\ 0 & 0 & & & \end{array} \right) \end{align}\] ここで、\( r \) は \( A \) のみによって決まる数で、これが行列 \( A \) の階数です。 \( F_{m, \ n} \left( r \right) \) は第 1 列（行）ベクトルから第 \( r \) 列（行）ベクトルまでが線形独立になっています。 これは、列ベクトルについては \[ \begin{align} F_{m, \ n} \left( r \right) = \left( \boldsymbol f_1 \ \ \boldsymbol f_2 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol f_n \right) \end{align}\] と表したとき、 \( \boldsymbol f_j \ \left( 1 \leq j \leq r \right)\) は \( \left( j, 1 \right) \) 成分のみが 1 で、他の成分は 0 であることによります。 行ベクトルについては \[ \begin{align} F_{m, \ n} \left( r \right) = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol f_1 \\ \boldsymbol f_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol f_m \end{array} \right) \end{align}\] と表したとき、 \( \boldsymbol f_i \ \left( 1 \leq i \leq r \right)\) は \( \left( 1, i \right) \) 成分のみが 1 で、他の成分は 0 であることによります。 また、\( F_{m, \ n} \left( r \right) \) は第 \( r+1 \) 列（行）ベクトルから第 \( n \) 列（第 \( m \) 行）ベクトルまでがすべて \( O \) ですが、 \[ \begin{align} O &= 0 \boldsymbol f_1 + 0 \boldsymbol f_2 + \cdots + 0 \boldsymbol f_n \\\\ &= 0 \boldsymbol f_1 + 0 \boldsymbol f_2 + \cdots + 0 \boldsymbol f_m \end{align}\] と表せるため、第 \( r+1 \) 列（行）ベクトルから第 \( n \) 列（第 \( m \) 行）ベクトルまでのいずれかを、第 1 列（行）ベクトルから第 \( r \) 列（行）ベクトルとあわせたものは線形従属となります。 よって、標準形 \( F_{m, \ n} \left( r \right) \) の線形独立な列（行）ベクトルの最大数は \( r \) となります。

　先の定理より、行列の基本変形では、線形独立な列（行）ベクトルの最大数は変化しないため、標準形のもととなる行列 \( A \) の列（行）ベクトルの最大数は標準形と同じ \( r \) 、すなわち \( A \) の階数となり、上の定理が成り立ちます。


　\( n \) 次正方行列が正則であることは、\( A \) の階数が \( n \) に等しいことと同値でした。 そのため、次の定理も成り立ちます。

　正規直交系の定義は、\( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_k \) について、 \[ \begin{align} \left( \boldsymbol e_i , \boldsymbol e_j \right) = \delta _{ij} = \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ \left( i=j \right) \\ 0 \ \ \ \left( i \neq j \right) \end{array} \right. \end{align}\] が成り立つと書いても同じです。 これはユニタリ行列の列ベクトルにおいて成り立つ条件でもあるため、ユニタリ行列の列ベクトルは正規直交系であると言えます。 逆に、列ベクトルが正規直交系となる行列はユニタリ行列であるという主張も成り立ちます。

　与えられた \( n \) 項列ベクトルからなる正規直交系 \( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_r \) に対して、\( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_r \) の線形結合として表されない \( n \) 項列ベクトル \( \boldsymbol a \) を取り、 \[ \begin{align} \boldsymbol a' = \boldsymbol a - \left( \boldsymbol a , \boldsymbol e_1 \right) \boldsymbol e_1 - \left( \boldsymbol a , \boldsymbol e_2 \right) \boldsymbol e_2 - \cdots - \left( \boldsymbol a , \boldsymbol e_r \right) \boldsymbol e_r \end{align}\] とおくと、\( \boldsymbol a' \) は \( O \) でなく、\( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_r \) のすべてと直交します。そこで、 \[ \begin{align} \boldsymbol e _{r+1} = \frac{\boldsymbol a'}{\| \boldsymbol a' \|} \end{align}\] とおくと、\( \boldsymbol e_1 , \boldsymbol e_2 , \cdots , \boldsymbol e_r , \boldsymbol e_{r+1} \) は正規直交系になります。 このようにして、与えられた \( n \) 項列ベクトルから新たな正規直交系を作る方法をグラム・シュミットの直交化法と呼びます。


　それから、正規直交系は次の定理により線形独立でもあります。

　線形関係 \[ \begin{align} c_1 \boldsymbol x_1 + c_2 \boldsymbol x_2 + \cdots + c_k \boldsymbol x_k = O \end{align}\] がある場合、これと \( \boldsymbol x_i \ \left( i = 1,2, \cdots , k \right) \) との内積を取ると、 \[ \begin{align} \left( c_1 \boldsymbol x_1 + c_2 \boldsymbol x_2 + \cdots + c_k \boldsymbol x_k , \boldsymbol x_i \right) &= \sum _{j=1} ^k \left( c_j \boldsymbol x_j , \boldsymbol x_i \right) \\\\ &= \left( c_i \boldsymbol x_i , \boldsymbol x_i \right) \\\\ &= c_i \left( \boldsymbol x_i , \boldsymbol x_i \right) = 0 \end{align}\] となります。\( \boldsymbol x_i \) は \( O \) でないため、内積の正値性より \( \left( \boldsymbol x_i , \boldsymbol x_i \right) \neq 0 \) となり、これから \( c_i = 0 \) となります。 よって、\( \boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_2 , \cdots , \boldsymbol x_k \) に自明でない線形関係は存在せず、上の定理が成り立ちます。