目次
・反応拡散系
・2次元 Gray-Scott モデル
ナユミ
あら、また変わった模様ね。
カヤ
ああ。2次元 Gray-Scott モデルのシミュレーションだよ。
―説明書―
2次元 Gray-Scott モデルのシミュレータです。
・表示画面下の設定項目について
\( k \) ：\( V \) の反応速度定数
\( f \) ：実験系への反応液の流入速度
\( \kappa _u \) ：\( U \) の拡散係数
\( \kappa _v \) ：\( V \) の拡散係数
色相左：左画面（ \( u \) ）の色相
色相右 ：右画面（ \( v \) ）の色相
セット ：パラメータをプリセットに設定します。 デモ1～デモ3では \( u \) と \( v \) の初期分布は0～0.5のランダムな数値で与えられます。 デモ4～デモ6では \( u \) の初期分布は一様に0.5とし、\( v \) の初期分布はデモごとに異なる分布をガウス型関数の和で与えています。
「開始/停止」ボタンを押すとシミュレーションが始まります。
2次元 Gray-Scott モデルのシミュレータです。
・表示画面下の設定項目について
\( k \) ：\( V \) の反応速度定数
\( f \) ：実験系への反応液の流入速度
\( \kappa _u \) ：\( U \) の拡散係数
\( \kappa _v \) ：\( V \) の拡散係数
色相左：左画面（ \( u \) ）の色相
色相右 ：右画面（ \( v \) ）の色相
セット ：パラメータをプリセットに設定します。 デモ1～デモ3では \( u \) と \( v \) の初期分布は0～0.5のランダムな数値で与えられます。 デモ4～デモ6では \( u \) の初期分布は一様に0.5とし、\( v \) の初期分布はデモごとに異なる分布をガウス型関数の和で与えています。
「開始/停止」ボタンを押すとシミュレーションが始まります。
ナユミ
2次元 Gray-Scott モデル？また難しそうね…
カヤ
このモデルは反応拡散系と呼ばれるものの一つなんだな。簡単にではあるが説明しよう。
反応拡散系
反応拡散系とは一種類あるいは複数種の化学物質が局所的な化学反応を伴いながら空間を拡散していく様子をモデル化したものです。
2次元反応拡散系の定義は次の通りです。
\[ 2次元反応拡散系\]
次の形式で表される \( n \) 個の偏微分方程式が同時に成り立つとき、これらを \( n \) 成分の2次元反応拡散系と呼ぶ。
\[ \begin{align}
\frac{\partial q_1}{\partial t} &= \kappa_1 \left( \frac{\partial ^2 q_1}{\partial x ^2} +
\frac{\partial ^2 q_1}{\partial y ^2} \right) + R_1 \left( q_1 , q_2, \ldots , q_n \right) \\\\
\frac{\partial q_2}{\partial t} &= \kappa_2 \left( \frac{\partial ^2 q_2}{\partial x ^2} +
\frac{\partial ^2 q_2}{\partial y ^2} \right) + R_2 \left( q_1 , q_2, \ldots , q_n \right) \\\\
\cdots \cdots \\\\
\frac{\partial q_n}{\partial t} &= \kappa_n \left( \frac{\partial ^2 q_n}{\partial x ^2} +
\frac{\partial ^2 q_n}{\partial y ^2} \right) + R_n \left( q_1 , q_2, \ldots , q_n \right)
\end{align}\]
\( q_1 , q_2, \ldots , q_n \) ：化学物質の濃度
\( \kappa _1 , \kappa _2, \ldots , \kappa _n \) ：拡散係数
\( R_1 , R_2, \ldots , R_n \) ：局所的な化学反応
\( q_1 , q_2, \ldots , q_n \) ：化学物質の濃度
\( \kappa _1 , \kappa _2, \ldots , \kappa _n \) ：拡散係数
\( R_1 , R_2, \ldots , R_n \) ：局所的な化学反応
ナユミ
拡散方程式に化学反応の項を追加して、それを何個か合わせるのね。
カヤ
そういうことだな。続いて、2次元 Gray-Scott モデルについて説明しよう。
2次元 Gray-Scott モデル
2次元 Gray-Scott モデルは
\[ \begin{align}
U + 2V & \to 3V \\\\
V & \to P
\end{align}\]
という形式の化学反応をモデル化したもので、2成分の2次元反応拡散系で表されます。
\[ 2次元 \ \rm Gray-Scott \ モデル\]
\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= \kappa_u \left( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right) - uv^2 + f \left( 1 - u \right) \\\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= \kappa_v \left( \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} \right) + uv^2 - \left( f + k\right)v \end{align}\]
\( u \) ： \( U \) の濃度
\( v \) ： \( V \) の濃度
\( f \) ： 実験系への反応液の流入速度
\( k \) ： \( V \) の反応速度定数
\( \kappa _u \) ：\( U \) の拡散係数
\( \kappa _v \) ：\( V \) の拡散係数
\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= \kappa_u \left( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right) - uv^2 + f \left( 1 - u \right) \\\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= \kappa_v \left( \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} \right) + uv^2 - \left( f + k\right)v \end{align}\]
\( u \) ： \( U \) の濃度
\( v \) ： \( V \) の濃度
\( f \) ： 実験系への反応液の流入速度
\( k \) ： \( V \) の反応速度定数
\( \kappa _u \) ：\( U \) の拡散係数
\( \kappa _v \) ：\( V \) の拡散係数
このモデルは2つの偏微分方程式から成りますが、通常の2次元拡散方程式や2次元波動方程式等と同じく陽的差分法により数値解を求めることができます。
時間の離散化幅を \( \Delta t \) 、空間の離散化幅を \( h \) として、一辺の長さが \( L \) の正方形領域を
\[ \begin{align}
t_n &= n \Delta t \ \ \left( n = 0,1, \ldots \right) \\\\
x_i &= ih \ \ \left( i = 0,1, \ldots , \frac{L}{h} \right) \\\\
y_j &= jh \ \ \left( j = 0,1, \ldots , \frac{L}{h} \right)
\end{align}\]
と離散化した場合、2次元 Gray-Scott モデルの陽的公式は次のように表されます。
\[ 2次元 \ \rm Gray-Scott \ モデルの陽的公式\]
\[ \begin{align}
u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n+1}\right) &= u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \\\\
& + \frac{\kappa _u \Delta t}{h^2} \left\{ u \left( x_{i+1} , y_{j}, t_{n}\right) + u \left( x_{i-1} ,
y_{j}, t_{n}\right) + u \left( x_{i} , y_{j+1}, t_{n}\right) + u \left( x_{i} , y_{j-1}, t_{n}\right) -4
u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \right\} \\\\
& + \Delta t \left\{ - u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) ^2 + f
\left( 1 - u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \right) \right\} \\\\
v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n+1}\right) &= v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \\\\
& + \frac{\kappa _v \Delta t}{h^2} \left\{ v \left( x_{i+1} , y_{j}, t_{n}\right) + v \left( x_{i-1} ,
y_{j}, t_{n}\right) + v \left( x_{i} , y_{j+1}, t_{n}\right) + v \left( x_{i} , y_{j-1}, t_{n}\right) -4
v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \right\} \\\\
& + \Delta t \left\{ u \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) ^2 -
\left( f + k \right) v \left( x_{i} , y_{j}, t_{n}\right) \right\}
\end{align}\]
下図は、冒頭のシミュレータ「デモ6」の計算結果です。
反応拡散系に現れる空間的な周期構造はチューリング構造と呼ばれており、CIMA反応という化学反応や熱帯魚の体の模様などにも見られます。
ナユミ
お魚の模様が微分方程式で表せるなんて思わなかったわ。
カヤ
知らないだけで、実は色々なパターンが微分方程式で表せるのかもな。
参考：
[1] 西浦廉政、Gray-Scottモデルにおける時空カオスの幾何的解釈、数理解析研究所講究録、1249巻、2002年、52-60、https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1249-7.pdf、2024年3月25日閲覧
[2] Wikipedia 反応拡散系、https://ja.wikipedia.org/wiki/反応拡散系、2024年3月25日閲覧
[3] 山口智彦・山本哲也、非平衡-開放系の化学反応 化学的リズム現象の博物学、電気学会誌、121巻 4号、2001年https://www.jstage.jst.go.jp/article/ieejjournal1994/121/4/121_4_243/_article/-char/ja/、2024年3月27日閲覧
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