目次
・確率空間の積
・確率空間の積の具体例
・追記：確率空間の積（無限集合）
カヤ
今回は2つの確率空間から新しい1つの確率空間を作ることを考えてみよう。
確率空間の積
ナユミ
確率空間をミックスするってこと？
カヤ
まあ、そういうことだな。ただ、やみくもに混ぜるのではなく、きちんと順序立てて合成するんだ。定義はこうだな。
\[ 確率空間の積\]
標本空間が有限集合である2つの確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \rm ( \Omega _1) , \it P \rm _1 \right) \) 、\( \left( \Omega _2 , \mathcal P \rm ( \Omega _2) , \it P \rm _2 \right) \) があるとする。
このとき、2つの確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) を次で定義する。
\[ \begin{align}
& \Omega = \Omega _1 \times \Omega _2 \\\\
& \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \\\\
\end{align}\]
\( P \) については、次の2条件により定める。
[1] \( e \in \Omega _1 \) 、\( g \in \Omega _2 \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \) に対して、\( P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) \) を次式で定義する。 \[ P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) = P_1 \left( \left\{ e \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ g \right\} \right)\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。
[1] \( e \in \Omega _1 \) 、\( g \in \Omega _2 \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \) に対して、\( P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) \) を次式で定義する。 \[ P \left( \left\{ \left( e, \ g \right) \right\} \right) = P_1 \left( \left\{ e \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ g \right\} \right)\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。
確率空間の積が「確率の公理」を満たしているかどうかを確かめておく必要があります。
そこで、確率の公理を再掲しておきます。
\[ 確率の公理\]
\( \Omega \) は根元事象と呼ばれる要素の集合であり、これを標本空間と呼ぶ。事象空間と呼ばれる \( \mathfrak F \) は \( \Omega \) の部分集合からなる集合族とし、その要素を事象と呼ぶ。次の[A1]～[A6]の「確率の公理」を満たす組 \( \left( \Omega, \mathfrak F \rm , \it P \right) \) を確率空間と呼ぶ。
[A1] \( \mathfrak F \) の2つの要素の和、差、共通部分はいずれも \( \mathfrak F \) に含まれる。
[A2] \( \Omega \in \mathfrak F \)
[A3] \( \mathfrak F \) の任意の要素 \( A \) に対して、「事象 \( A \) の確率」と呼ばれる非負の実数 \( P \left( A \right) \) が対応付けられる。
[A4] \( P \left( \Omega \right) = 1 \)
[A5] \( \mathfrak F \) の2つの要素 \( A \) と \( B \) が交わらないならば、次式が成り立つ。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] このとき \( A \) と \( B \) は互いに排反であるという。
[A6] \( \mathfrak F \) の任意の減少列 \[ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots \] が、 \[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} A_i = \varnothing \] を満たすならば、 \[ \lim _{i \to \infty} P \left( A_i \right) = 0 \] が成り立つ。
[A1] \( \mathfrak F \) の2つの要素の和、差、共通部分はいずれも \( \mathfrak F \) に含まれる。
[A2] \( \Omega \in \mathfrak F \)
[A3] \( \mathfrak F \) の任意の要素 \( A \) に対して、「事象 \( A \) の確率」と呼ばれる非負の実数 \( P \left( A \right) \) が対応付けられる。
[A4] \( P \left( \Omega \right) = 1 \)
[A5] \( \mathfrak F \) の2つの要素 \( A \) と \( B \) が交わらないならば、次式が成り立つ。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] このとき \( A \) と \( B \) は互いに排反であるという。
[A6] \( \mathfrak F \) の任意の減少列 \[ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots \] が、 \[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} A_i = \varnothing \] を満たすならば、 \[ \lim _{i \to \infty} P \left( A_i \right) = 0 \] が成り立つ。
各々の公理のチェックに入る前に、まず \( \Omega \) は集合であること、\( \mathfrak F \) は \( \Omega \) の部分集合からなる集合族であることを確かめておきます。
\( \Omega \) は \( \Omega _1\) と \( \Omega _2\) の直積なので、集合です。
\( \mathfrak F \) は \( \Omega \) のべき集合であり、べき集合は部分集合全体の集合であるため、\( \mathfrak F \) は \( \Omega \) の部分集合からなる集合族です。
続いて、公理のチェックに入ります。まず A1 についてですが、 べき集合 \[ \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \] の元どうしで和、差、共通部分を取っても、結局 \( \mathcal P \rm ( \Omega ) \) の元となるため、これは満たされています。
次に、A2についてですが、これも \[ \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \] より明らかです。
次に、A3についてです。 \( P \) に関する条件 [1] から、\( \Omega \) の元を1つ取ってそのまま集合にしたものについては非負の実数値で確率が定義できます。 すると、[2] から \( \Omega \) の元を1つ取ってそのまま集合にしたものの和集合で表される \( \mathfrak F \) の元についても非負の実数値で確率が定義できます。 空集合 \( \varnothing \) についても、次のように考えれば求められるので、A3 も成立すると言えます。
続いて、公理のチェックに入ります。まず A1 についてですが、 べき集合 \[ \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \] の元どうしで和、差、共通部分を取っても、結局 \( \mathcal P \rm ( \Omega ) \) の元となるため、これは満たされています。
次に、A2についてですが、これも \[ \mathfrak F = \mathcal P \rm ( \Omega ) \] より明らかです。
次に、A3についてです。 \( P \) に関する条件 [1] から、\( \Omega \) の元を1つ取ってそのまま集合にしたものについては非負の実数値で確率が定義できます。 すると、[2] から \( \Omega \) の元を1つ取ってそのまま集合にしたものの和集合で表される \( \mathfrak F \) の元についても非負の実数値で確率が定義できます。 空集合 \( \varnothing \) についても、次のように考えれば求められるので、A3 も成立すると言えます。
\[ P \left( A \cup \varnothing \right) = P \left( A \right) = P \left( A \right) + P \left( \varnothing \right) \]
\[ P \left( \varnothing \right) = 0 \]
A4 については次のように確かめられます。
\( n \) と \( m \) を自然数として、
\[ \begin{align}
\Omega _1 &= \left\{ e_1 ,\ e_2, \cdots , \ e_n \right\} \\\\
\Omega _2 &= \left\{ g_1 ,\ g_2, \cdots , \ g_m \right\}
\end{align}\]
と表されるとする。確率の公理 A4 、A5 より、
\[ \begin{align}
P_1 \left( \Omega _1 \right) &= P_1 \left( \bigcup _{i=1} ^n \left\{ e_i \right\} \right)
= \sum _{i=1} ^n P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) =1 \\\\
P_2 \left( \Omega _2 \right) &= P_2 \left( \bigcup _{j=1} ^m \left\{ g_j \right\} \right)
= \sum _{j=1} ^m P_2 \left( \left\{ g_j \right\} \right) =1 \\\\
\end{align}\]
これと、\( P \) についての2条件により、
\[ \begin{align}
P \left( \Omega \right) &= P \left( \bigcup _{i=1} ^n \bigcup _{j=1} ^m \left\{ \left( e_i, \ g_j \right) \right\} \right) \\\\
&= \sum _{i=1} ^n \sum _{j=1} ^m P \left( \left\{ \left( e_i, \ g_j \right) \right\} \right) \\\\
&= \sum _{i=1} ^n \sum _{j=1} ^m P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ g_j \right\} \right) \\\\
&= \left( \sum _{i=1} ^n P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) \right) \cdot \left( \sum _{j=1} ^m P_2 \left( \left\{ g_j \right\} \right) \right) = 1
\end{align}\]
3行目は \( \Omega _1 \) に含まれる根元事象が \( n \) 個で、\( \Omega _2 \) に含まれる根元事象が \( m \) 個としています。
4-6行目では、個々の根元事象そのものの集合についてすべて和をとると標本空間になるという性質を使って、公理 A4 と A5 から標本空間の確率を根元事象そのものの集合の確率の総和で表しています。
8-9行目は同じことを \( \Omega \) に対して行っています。 8行目のかっこの中身の計算をもう少し詳しく書くと次のようになります。
4-6行目では、個々の根元事象そのものの集合についてすべて和をとると標本空間になるという性質を使って、公理 A4 と A5 から標本空間の確率を根元事象そのものの集合の確率の総和で表しています。
8-9行目は同じことを \( \Omega \) に対して行っています。 8行目のかっこの中身の計算をもう少し詳しく書くと次のようになります。
\[ \begin{align}
\bigcup _{i=1} ^n \bigcup _{j=1} ^m \left\{ \left( e_i, \ g_j \right) \right\} &= \bigcup _{i=1} ^n \left( \left\{ \left( e_i, \ g_1 \right) \right\} \cup \left\{ \left( e_i, \ g_2 \right) \right\} \cup \cdots \cup \left\{ \left( e_i, \ g_m \right) \right\}\right) \\\\
&= \left\{ \left( e_1, \ g_1 \right) \right\} \cup \left\{ \left( e_1, \ g_2 \right) \right\} \cup \cdots \cup \left\{ \left( e_1, \ g_m \right) \right\} \\\\
& \ \ \cup \left\{ \left( e_2, \ g_1 \right) \right\} \cup \left\{ \left( e_2, \ g_2 \right) \right\} \cup \cdots \cup \left\{ \left( e_2, \ g_m \right) \right\} \\\\
& \ \ \cup \cdots \cup \left\{ \left( e_n, \ g_1 \right) \right\} \cup \left\{ \left( e_n, \ g_2 \right) \right\} \cup \cdots \cup \left\{ \left( e_n, \ g_m \right) \right\}
\end{align}\]
まず \( j \) の方を動かして、その後 \( i \) を動かす形になります。
9行目と10行目の \( \sum \) の方も同じ要領です。
10行目から11行目は、次のように逆にたどるとわかりやすいです。
10行目から11行目は、次のように逆にたどるとわかりやすいです。
\[ \begin{align}
& \ \ \ \ \ \left( \sum _{i=1} ^n P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) \right) \cdot \left( \sum _{j=1} ^m P_2 \left( \left\{ g_j \right\} \right) \right) \\\\
&= \left( P_1 \left( \left\{ e_1 \right\} \right) + P_1 \left( \left\{ e_2 \right\} \right) + \cdots + P_1 \left( \left\{ e_n \right\} \right) \right) \\\\
& \ \ \ \times \left( P_2 \left( \left\{ g_1 \right\} \right) + P_2 \left( \left\{ g_2 \right\} \right) + \cdots + P_2 \left( \left\{ g_m \right\} \right) \right) \\\\
&= P_1 \left( \left\{ e_1 \right\} \right) \cdot \left( P_2 \left( \left\{ g_1 \right\} \right) + P_2 \left( \left\{ g_2 \right\} \right) + \cdots + P_2 \left( \left\{ g_m \right\} \right) \right) \\\\
& \ \ \ + P_1 \left( \left\{ e_2 \right\} \right) \cdot \left( P_2 \left( \left\{ g_1 \right\} \right) + P_2 \left( \left\{ g_2 \right\} \right) + \cdots + P_2 \left( \left\{ g_m \right\} \right) \right) \\\\
& \ \ \ + \cdots + P_1 \left( \left\{ e_n \right\} \right) \cdot \left( P_2 \left( \left\{ g_1 \right\} \right) + P_2 \left( \left\{ g_2 \right\} \right) + \cdots + P_2 \left( \left\{ g_m \right\} \right) \right) \\\\
&= \sum _{i=1} ^n P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) \cdot \left( P_2 \left( \left\{ g_1 \right\} \right) + P_2 \left( \left\{ g_2 \right\} \right) + \cdots + P_2 \left( \left\{ g_m \right\} \right) \right) \\\\
&= \sum _{i=1} ^n \sum _{j=1} ^m P_1 \left( \left\{ e_i \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ g_j \right\} \right)
\end{align}\]
これで A4 まで成り立つことが確かめられました。
A5については、\( P \) の構成方法から明らかです。
A6 も次のようにすれば成り立っていることがわかります。
\( \mathfrak F \) の任意の減少列
\[ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots \]
が、
\[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} A_i = \varnothing \]
を満たすならば、\( \mathfrak F \) が有限集合であることから、ある自然数 \( M \) があって、\( i \gt M \) ならば、\( A_i = \varnothing \) である。よって、
\[ \lim _{i \to \infty} P \left( A_i \right) = P \left( \varnothing \right) = 0 \]
が成り立つ。
\( \mathfrak F \) は有限集合なので、減少列の共通部分が空集合となるためには、必ずどこかで \( A_i = \varnothing \) となる必要があります。
もし、減少列に空集合が含まれていないとしたら、それは減少列がある番号以降は空集合でない \( \mathfrak F \) の元 \( A \) に固定されているということになり、その場合
\[ \bigcap _{i=1} ^{\infty} A_i = A \]
となってしまい、公理の仮定に反するからです。
ナユミ
これで、確率空間の積が「確率の公理」を満たしていることが確かめられたのね。
カヤ
そうだな。じゃあ次は、この確率空間の積を使った具体例を見てみよう。
確率空間の積の具体例
ナユミ
どんな具体例かな？
カヤ
今回は初めてなので、すごく簡単な例で行こう。問題はこうだ。
表裏のあるコインを1回投げる。その後、0、1、2の数字が一つずつ書かれた3枚のカードから、書かれた数字を見ずに1枚を引く。この状況を確率空間の積として表現してください。
ナユミ
ふむ、とりあえず2つの確率空間を用意するところからね。
コイン投げの確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \rm ( \Omega _1) , \it P \rm _1 \right) \)
\[ \begin{align}
& \Omega _1 = \left\{ 表 ,\ 裏 \right\} \\\\
& \mathcal P \rm ( \Omega _1) = \left\{ \Omega _1 , \ \left\{ 表 \right\}, \ \left\{ 裏 \right\}, \ \varnothing \right\} \\\\
& P_1 \left( \Omega _1 \right) = 1 , \
P_1 \left( \varnothing \right) = 0 \\\\
& P_1 \left( \left\{ 表 \right\} \right) = \frac{1}{2} , \
P_1 \left( \left\{ 裏 \right\} \right) = \frac{1}{2}
\end{align}\]
カード引きの確率空間 \( \left( \Omega _2 , \mathcal P \rm ( \Omega _2) , \it P \rm _2 \right) \)
\[ \begin{align}
& \Omega _2 = \left\{ 0 ,\ 1, \ 2 \right\} \\\\
& \mathcal P \rm ( \Omega _2) = \left\{ \Omega _2 , \ \left\{ 0 \right\}, \ \left\{ 1 \right\},\ \left\{ 2 \right\},\ \left\{ 0 ,\ 1 \right\},\ \left\{ 1 ,\ 2\right\},\ \left\{ 0,\ 2 \right\}, \ \varnothing \right\} \\\\
& P_2 \left( \Omega _2 \right) = 1 , \
P_2 \left( \varnothing \right) = 0 \\\\
& P_2 \left( \left\{ 0 \right\} \right) = \frac{1}{3} , \
P_2 \left( \left\{ 1 \right\} \right) = \frac{1}{3}, \
P_2 \left( \left\{ 2 \right\} \right) = \frac{1}{3} \\\\
& P_2 \left( \left\{ 0 ,\ 1 \right\} \right) = \frac{2}{3} , \
P_2 \left( \left\{ 1, \ 2 \right\} \right) = \frac{2}{3}, \
P_2 \left( \left\{ 0, \ 2 \right\} \right) = \frac{2}{3}
\end{align}\]
カヤ
うん、きちんと確率空間が定義できてるな。
ナユミ
よし、じゃあ次はこれから確率空間の積を作るわね。
確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathcal P \rm ( \Omega ) , \it P \rm \right) \)
\[ \begin{align}
\Omega &= \Omega _1 \times \Omega _2 \\\\
&= \left\{ \left( 表,\ 0 \right) ,\ \left( 表,\ 1 \right),\ \left( 表,\ 2 \right),\ \left( 裏,\ 0 \right),\ \left( 裏,\ 1 \right),\ \left( 裏,\ 2 \right) \right\}
\end{align}\]
ナユミ
…ねえ、カヤちゃん？
カヤ
どうした？
ナユミ
これ、\( \mathcal P \rm ( \Omega ) \) 書かなきゃだめ？なんか、すごく多そうなんだけど…
カヤ
まあ、\( | \Omega | = 6 \) だから、\( | \mathcal P \rm ( \Omega ) | = 2^6 = 64 \) となるもんな。
ナユミ
そんなに書けないわ!
いきなりすべての事象について確率を求めると大変なので、まずは \( \Omega \) の要素、つまり根元事象についてだけ、その確率を求めてみます。
これらは6通りありますが、確率は全部一緒で、
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
です。
確率空間という考え方は、確率を厳密かつ網羅的に定義する上では欠かせませんが、 実際の計算で重要な役割を果たすのは標本空間の元である根元事象とそれに対応した確率です。 そこで、今のような問題は、例えばこういう表を作ると見通しがとてもよくなります。
確率空間という考え方は、確率を厳密かつ網羅的に定義する上では欠かせませんが、 実際の計算で重要な役割を果たすのは標本空間の元である根元事象とそれに対応した確率です。 そこで、今のような問題は、例えばこういう表を作ると見通しがとてもよくなります。
\begin{array}{c|c|c|c}
& 0 & 1 & 2 \\
\hline
表 & P_1 \left( \left\{ 表 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 0 \right\} \right) & P_1 \left( \left\{ 表 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 1 \right\} \right) & P_1 \left( \left\{ 表 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 2 \right\} \right) \\
\hline
裏 & P_1 \left( \left\{ 裏 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 0 \right\} \right) & P_1 \left( \left\{ 裏 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 1 \right\} \right) & P_1 \left( \left\{ 裏 \right\} \right) \cdot P_2 \left( \left\{ 2 \right\} \right)
\end{array}
表の行が \( \Omega _1 \) 、列が \( \Omega _2 \) に対応しています。
\( \mathcal P \rm ( \Omega ) \) の1つ1つの元は、この表のマス目を選ぶパターンに対応しています。
ナユミ
なんというか、実際にやってみるのが一番理解が深まる気がするわ。
カヤ
まあ、そういうところもあるだろうな。何事も、色々な角度と層から眺めることが深い理解につながるだろうな。
ナユミ
厳密な定義も、実際的な応用も、どっちも物事の姿ってことね。
カヤ
そういうことだ。
追記：確率空間の積（無限集合）
カヤ
標本空間が無限集合の場合にも次のようにすれば確率空間の積が定義できるんだ。
\[ 確率空間の積\]
標本空間が無限集合である2つの確率空間 \( \left( \Omega _1 , \mathcal P \left( \Omega _1 \right) , \it P \rm _1 \right) \) 、\( \left( \Omega _2 , \mathcal P \left( \Omega _2 \right) , \it P \rm _2 \right) \) があるとする。
\( - \infty \leq a \leq b \leq \infty \) を満たす定数 \( a \) 、\( b \) を用いて、
\[ \Omega _1 = \left[ a, \ b \right] \]
と表されており、\( a \leq \alpha \leq \beta \leq b \) を満たす任意の定数 \( \alpha \) 、\( \beta \) について、
\[ P_1 \left( \left[ \alpha, \ \beta \right] \right) = \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \]
が成り立つとする。ここで、\( f(x) \) は次の条件を満たす関数である。
\[ x \in \left[ a, \ b \right] \ において \ f \left( x \right) \geq 0 \]
\[ \int _a ^b f \left( x \right) dx = 1\]
同様に、\( - \infty \leq c \leq d \leq \infty \) を満たす定数 \( c \) 、\( d \) を用いて、
\[ \Omega _2 = \left[ c, \ d \right] \]
と表されており、\( c \leq \gamma \leq \delta \leq d \) を満たす任意の定数 \( \gamma \) 、\( \delta \) について、
\[ P_2 \left( \left[ \gamma, \ \delta \right] \right) = \int _{\gamma} ^{\delta} g \left( y \right) dy \]
が成り立つとする。ここで、\( g(y) \) は次の条件を満たす関数である。
\[ y \in \left[ c, \ d \right] \ において \ g \left( y \right) \geq 0 \]
\[ \int _c ^d g \left( y \right) dy = 1\]
このとき、2つの確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) を次で定義する。
\[ \begin{align}
& \Omega = \left\{ \left( \left[ \alpha, \ \beta \right], \ \left[ \gamma, \ \delta \right] \right) \ | \ a \leq \alpha \leq \beta \leq b, \ c \leq \gamma \leq \delta \leq d \right\} \\\\
& \mathfrak F = \mathcal P \rm \left( \Omega \right)
\end{align}\]
\( P \) については、次の2条件により定める。
[1] \( e = \left[ \alpha, \ \beta \right] \) 、\( g = \left[ \gamma, \ \delta \right] \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left( e, \ g \right) \) に対して、\( P \left( \left( e, \ g \right) \right) \) を次式で定義する。 \[ \begin{align} P \left( \left( e, \ g \right) \right) &= P_1 \left( e \right) \cdot P_2 \left( g \right) \\\\ &= \left( \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \right) \cdot \left( \int _{\gamma} ^{\delta} g \left( y \right) dy \right) \\\\ &= \int _{\alpha} ^{\beta} \left( \int _{\gamma} ^{\delta} f \left( x \right) g \left( y \right) dy \right) dx \end{align}\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。
[1] \( e = \left[ \alpha, \ \beta \right] \) 、\( g = \left[ \gamma, \ \delta \right] \) として、\( \mathfrak F \) の元 \( \left( e, \ g \right) \) に対して、\( P \left( \left( e, \ g \right) \right) \) を次式で定義する。 \[ \begin{align} P \left( \left( e, \ g \right) \right) &= P_1 \left( e \right) \cdot P_2 \left( g \right) \\\\ &= \left( \int _{\alpha} ^{\beta} f \left( x \right) dx \right) \cdot \left( \int _{\gamma} ^{\delta} g \left( y \right) dy \right) \\\\ &= \int _{\alpha} ^{\beta} \left( \int _{\gamma} ^{\delta} f \left( x \right) g \left( y \right) dy \right) dx \end{align}\] [2] \( \mathfrak F \) の交わらない2つの元 \( A \) と \( B \) により、\( P \left( A \cup B \right) \) を次式で定める。 \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \] 以上の方法で定義された確率空間の積 \( \left( \Omega , \mathfrak F \rm , \it P \rm \right) \) は確率空間である。
積分による確率の定義に用いている関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) は次回解説する確率密度関数と本質的には同じものです。
カヤ
こうして作られた確率空間の積は有限集合の場合と同じく確率の公理を満たすんだな。証明はしないが、興味があるならやってみてくれ。
ナユミ
暇な時にやってみるわ。
参考：
[1] 宮西正宜 他24名、高等学校 数学A 改訂版、新興出版社啓林館、2008年12月10日発行
[2] Wikipedia 確率の公理、https://ja.wikipedia.org/wiki/確率の公理、2023年9月24日閲覧
[3] A.N.Kolmogorov 著、Nathan Morrison 英訳、FOUNDATIONS OF THE THEORY OF PROBABILITY、CHELSEA PUBLISHING COMPANY NEW YORK、1950年
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