目次
・直線
・二次曲線
・放物線
・楕円
・双曲線
カヤ
今回から三回に分けて一変数関数の具体例を紹介していこう。今回は直線と二次曲線について、まずは直線から。
直線
\[ 直線の式\]
\[ y = ax + b \ \ (a,b \ \ は定数)\]
直線の式は一次関数とも呼ばれます。
\( y = ax \ (a \gt 0 ) \) のグラフは下図のようになります。
このグラフは比例のグラフで、原点を通ります。傾きは \( a \) で、\( x \) 軸方向に \( 1 \) 進んだときに、\( y \) 軸方向に \( a \) 進みます。\( a \gt 0 \) のため、グラフは右上がりの真っすぐな線になります。
一方、\( y = ax \ (a \lt 0 ) \) のグラフは次のようになります。
一方、\( y = ax \ (a \lt 0 ) \) のグラフは次のようになります。
\( a \lt 0 \) のため、グラフは右下がりの真っすぐな線になります。
\( a = 0 \) のときは、\( y = 0 \times x = 0 \) となるため、\( x \) の値によらず常に \( y = 0 \) となりこれは \( x \) 軸を表します。
次は \( y = ax + b \ (a \gt 0) \) のグラフを見てみます。
\( a = 0 \) のときは、\( y = 0 \times x = 0 \) となるため、\( x \) の値によらず常に \( y = 0 \) となりこれは \( x \) 軸を表します。
次は \( y = ax + b \ (a \gt 0) \) のグラフを見てみます。
\( y = ax + b \) のグラフは \( y = ax \ (a \gt 0) \) のグラフを \( y \) 軸方向に \( b \) だけ平行移動したものです。
\( b \) は \( \boldsymbol y \) 切片と呼びます。
二次曲線
二次曲線は \( x \) と \( y \) の二次式で表される曲線のことです。
円錐の切り口から得られることから、円錐曲線とも呼ばれています。
二次曲線は大きく分けて、放物線、楕円、双曲線の三種類があります。
ここでは、それぞれの曲線について、最もシンプルな形の式だけ紹介していきます。
放物線
放物線は頂点が原点を通るものに限るなら、次の式で表されます。
\[ 放物線の式\]
\[ y = a x^2 \ \ (a \neq 0) \]
先に補足しておくと、\( x^2 = x \times x \) です。\( a \gt 0 \) のとき、放物線は下に凸（とつ）であるといい、このとき頂点は放物線の最小値を与えます。一方、\( a \lt 0 \) のとき、放物線は上に凸であるといい、このとき頂点は放物線の最大値を与えます。
楕円
楕円の中心が原点にあるとすれば、楕円の式は次で表されます。
\[ 楕円の式\]
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a \gt 0,b \gt 0 ) \]
楕円の式はこのままでは関数とは言えませんが、次のように変形すれば実は関数として見ることができます。
\[ \begin{align}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\\\
\frac{y^2}{b^2} &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\\\
y^2 &= b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) \\\\
y &= \pm \ b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}
\end{align}\]
\( a \gt b \) とした場合、楕円のグラフは下図のようになります。
\( a \gt b \) とした場合は横長ですが、\( a \lt b \) とした場合は縦長になります。
\( a = b \) のときは、半径 \( a \) の円になります。
双曲線
\[ 双曲線の式\]
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a \gt 0,b \gt 0 ) \]
楕円の式において第2項をマイナスに変えたものになります。双曲線の式も楕円の式と一緒で、このままでは関数として見れませんが、次のように変形すれば関数とみなせます。
\[ \begin{align}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\\\
- \frac{y^2}{b^2} &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\\\
y^2 &= b^2 \left( -1 + \frac{x^2}{a^2} \right) \\\\
y &= \pm \ b \sqrt{-1 + \frac{x^2}{a^2}}
\end{align}\]
カヤ
グラフはこうなるぞ。
緑の線が双曲線のグラフです。黒の破線は漸近線と呼ばれる直線で、双曲線がだんだんと近づいていく線のことです。
漸近線は \( \pm \frac{b}{a} x \) で与えられます。また、\( x \) 切片は \( a \) と \( -a \) になります。
ナユミ
双曲線はなんだかろくろみたいな形ね。
カヤ
そうだな。ろくろのような、左右がへこんだ形になる。実は、上下がへこんだ形の双曲線もあるんだ。
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \ \ (a \gt 0,b \gt 0 ) \]
ナユミ
右辺が \( -1 \) になってるわ。
カヤ
そうだ。そして、グラフはこうなる。
ろくろを横に寝かせたこちらのグラフでは \( y \) 切片が \( b \) と \( -b \) になっています。
双曲線にはもう一つよく知られた式があり、それは反比例の式です。
双曲線にはもう一つよく知られた式があり、それは反比例の式です。
\[ 反比例の式\]
\[ y = \frac{a}{x} \ \ ( a \neq 0 ) \]
少し難しいのでここでは説明しませんが、反比例の式は双曲線の式
\[ \frac{x^2}{\left( \sqrt{2a} \right) ^2} - \frac{y^2}{\left( \sqrt{2a} \right) ^2} = 1 \]
を \( 45 ^{\circ} \) 回転させたものです。
首を \( 45 ^{\circ} \) 傾けて反比例のグラフを見ると双曲線に見えます。
ナユミ
放物線、楕円、双曲線とやったから、これで二次曲線は終わりかな？
カヤ
ああ、今回はここまでにしよう。
ナユミ
お疲れさまでした！
参考：
[1] George Allen & Unwin Ltd 著、矢野健太郎 訳補、ブルーバックス 現代数学百科、講談社、1968年11月30日発行
[2] 石村園子、やさしく学べる微分積分、共立出版、1999年12月25日発行
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